Pentru un tabel de frecvențe grupat pe clase, deasupra cărei valori de pe axa orizontală se marchează punctele poligonului frecvențelor (cel obișnuit, nu cel cumulat)?

mijlocul dintre două clase vecine

Care dintre următoarele afirmații despre poligonul frecvențelor cumulate este adevărată?

este întotdeauna crescător (nedescrescător) și se termină la efectivul total

poate să coboare dacă o clasă are frecvența $$0$$

se construiește unind centrele claselor

se termină întotdeauna la valoarea $$0$$

Ce este poligonul frecvențelor?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · De la histogramă la linie frântă

Este linia frântă obținută legând, pentru fiecare interval, punctul care are ca abscisă centrul lui și ca ordonată frecvența lui. Pe o histogramă deja desenată, aceleași puncte se află chiar în mijlocul fiecărei laturi de sus. La cele două capete linia coboară până la axă, prin două intervale imaginare cu frecvența zero, astfel încât suprafața de sub ea să rămână egală cu cea a histogramei. Vârful stă deasupra intervalului cel mai des întâlnit.

Poligonul frecvențelor este linia frântă care unește punctele $(c_{i}, n_{i})$ , unde $c_{i}$ este centrul fiecărei clase, iar $n_{i}$ frecvența ei absolută — practic, mijloacele laturilor de sus ale dreptunghiurilor unei histograme. La ambele capete, linia se închide coborând până la axa orizontală, cu ajutorul a două clase fictive de frecvență $0$ ; astfel, aria de sub poligon rămâne egală cu aria histogramei. Vârful poligonului se află deasupra centrului clasei modale, iar forma lui — simetrică, asimetrică sau cu două vârfuri — spune multe despre distribuția datelor.

Poligonul frecvențelor cumulate schimbă două lucruri: pe verticală trece frecvențele cumulate, iar punctele se marchează la capătul din dreapta al fiecărei clase, nu la centru, pentru că frecvența cumulată a unei clase se realizează abia acolo. Fiindcă fiecare frecvență cumulată se obține adunând la precedenta un număr pozitiv, linia urcă mereu și se termină la efectivul total (sau la $100%$ , pentru frecvențe relative). De pe acest grafic se citesc rapid procente și se estimează mediana — dar rezultatul este o aproximare grafică, nu o valoare exactă.

Cele două poligoane se folosesc și pentru a compara două seturi de date, suprapuse pe aceleași clase și aceeași scară; dacă efectivele diferă, se compară frecvențele relative.

De reținut

puncte la centrul intervalului, la înălțimea frecvenței
la poligonul cumulat: puncte la capătul din dreapta
poligonul cumulat urcă mereu

Greșeala tipică

Se folosesc aceleași abscise la ambele grafice. Punctele primului poligon stau deasupra centrelor intervalelor, iar cele ale poligonului cumulat deasupra capetelor din dreapta.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru un tabel de frecvențe grupat pe clase, deasupra cărei valori de pe axa orizontală se marchează punctele poligonului frecvențelor (cel obișnuit, nu cel cumulat)?
- a) centrul clasei
- b) capătul din dreapta al clasei
- c) capătul din stânga al clasei
- d) mijlocul dintre două clase vecine
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) centrul clasei

Poligonul frecvențelor unește punctele $(c_{i}, n_{i})$ , unde $c_{i}$ este centrul clasei — mijlocul laturii de sus a dreptunghiului histogramei corespunzător. Capătul din dreapta se folosește la poligonul frecvențelor cumulate, nu la acesta.
Care dintre următoarele afirmații despre poligonul frecvențelor cumulate este adevărată?
- a) poate să coboare dacă o clasă are frecvența $0$
- b) este întotdeauna crescător (nedescrescător) și se termină la efectivul total
- c) se construiește unind centrele claselor
- d) se termină întotdeauna la valoarea $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) este întotdeauna crescător (nedescrescător) și se termină la efectivul total

Fiecare frecvență cumulată se obține adunând la precedenta o frecvență absolută, care e un număr natural — deci șirul crește sau rămâne constant, niciodată nu scade, iar ultima valoare este chiar efectivul total $n$ . Punctele se marchează la capetele din dreapta ale claselor, nu la centre, iar linia se termină la $n$ , nu la $0$ .
Pentru clasele $[0, 5)$ , $[5, 10)$ , $[10, 15)$ , $[15, 20)$ cu frecvențele $4$ , $9$ , $6$ , $1$ , deasupra cărei valori se află vârful poligonului frecvențelor?
- a) $2, 5$
- b) $12, 5$
- c) $7, 5$
- d) $17, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7, 5$

Frecvența maximă este $9$ , atinsă de clasa $[5, 10)$ , deci vârful poligonului este deasupra centrului acestei clase, $c = \frac{5 + 10}{2} = 7, 5$ .

Întrebări conexe

Ce citesc dintr-un poligon cu două vârfuri?

Că datele se strâng în jurul a două valori diferite, nu al uneia singure. De obicei asta arată că în set s-au amestecat două grupuri deosebite, de pildă înălțimile băieților cu cele ale fetelor. Se numește distribuție bimodală.

Ce se pune pe cele două axe ale poligonului?

Pe orizontală, centrele intervalelor de valori, iar pe verticală, frecvențele. Amândouă axele primesc o denumire și o unitate, altfel graficul nu se poate citi. Scara verticală pornește de la zero, ca înălțimile să nu fie exagerate.

Ce formă are poligonul unui set simetric de date?

Urcă până la un vârf central și coboară la fel de repede, astfel încât cele două jumătăți se oglindesc una în cealaltă. La un set înclinat, vârful se mută spre unul dintre capete, iar linia coboară lent pe partea opusă, acolo unde se află valorile rare și depărtate.

Ce sunt clasele fictive de la capetele poligonului?

Sunt două intervale adăugate doar pentru desen, unul înaintea primului și altul după ultimul, ambele cu frecvența zero. Ele nu conțin date și nu intră în niciun calcul; rolul lor este să coboare linia frântă până la axa orizontală.

Ce arată panta unui segment al poligonului cumulat?

Cât de multe date cad în intervalul acela: cu cât urcă mai abrupt, cu atât frecvența clasei este mai mare. Un segment aproape orizontal arată un interval aproape gol. Panta nu se calculează, ci se citește cu ochiul, ca să compari repede clasele între ele.

Ce înseamnă un poligon cumulat care coboară?

Înseamnă o greșeală de calcul: cel mai probabil ai trecut pe verticală frecvențele absolute, nu pe cele cumulate. Fiindcă la fiecare pas se adaugă un număr pozitiv, linia frecvențelor cumulate urcă mereu, fără nicio excepție.

Oamenii mai întreabă și: poligonul frecvențelor · linia frântă a frecvențelor · poligonul frecvențelor cumulate · cum desenez poligonul frecvențelor