Cum calculez probabilitatea intersecției?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilitatea intersecției a două evenimente

Regula înmulțirii spune $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ : probabilitatea primului eveniment, înmulțită cu probabilitatea celui de-al doilea calculată după ce primul s-a produs. La extragerea cu revenire compoziția nu se schimbă, deci al doilea factor este chiar $P (B)$ . Când bila nu se întoarce în urnă, scad amândoi termenii fracției: dintr-o urnă cu $3$ albe și $5$ negre, două bile albe la rând au probabilitatea $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{28}$ .

Intersecția $A \cap B$ înseamnă „se produc amândouă"; fiind o parte comună a celor două evenimente, ea nu poate depăși niciunul: $P (A \cap B) \leq min (P (A), P (B))$ — opusul reuniunii, care era cel puțin la fel de mare ca fiecare eveniment.

Regula înmulțirii, obținută din regula traseului pe o diagramă arborescentă: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A),$ unde al doilea factor este probabilitatea lui $B$ recalculată în situația în care $A$ s-a produs deja.

Diferența esențială e între extragerea cu revenire și cea fără revenire: la cea cu revenire, compoziția rămâne aceeași, deci $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ (evenimente independente); la cea fără revenire, se schimbă și numărătorul, și numitorul celui de-al doilea factor — greșeala tipică e să schimbi doar numitorul.

Când datele vin dintr-un tabel cu două caracteristici, intersecția se citește direct din căsuța comună, împărțită la total — și nu trebuie confundată cu produsul $P (A) \cdot P (B)$ , care presupune independență și adesea nu se verifică pe date reale. Dacă enunțul dă $P (A)$ , $P (B)$ și $P (A \cup B)$ , cea mai scurtă cale este $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ .

De reținut

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$
cu revenire: $P (A) \cdot P (B)$
fără revenire scad ambii termeni ai fracției

Greșeala tipică

Se folosește produsul $P (A) \cdot P (B)$ la date dintr-un tabel sau la extrageri fără revenire. Formula aceasta presupune independență, care pe date reale aproape niciodată nu se verifică.

Exerciții din această mini-lecție

O urnă conține $4$ bile roșii și $6$ bile negre. Se extrag două bile, una după alta, FĂRĂ revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?
- a) $\frac{2}{15}$
- b) $\frac{4}{25}$
- c) $\frac{1}{5}$
- d) $\frac{3}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2}{15}$

$P = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ . Varianta b) ( $\frac{4}{25}$ ) ar rezulta dacă am folosi greșit formula CU revenire, adică $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10}$ , deși enunțul cere extragere fără revenire.
Aceeași urnă ( $4$ roșii, $6$ negre), extragere CU revenire de două bile. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?
- a) $\frac{4}{25}$
- b) $\frac{2}{15}$
- c) $\frac{2}{5}$
- d) $\frac{1}{25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4}{25}$

La extragerea cu revenire, compoziția urnei rămâne neschimbată la a doua extragere: $P = \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$ . Varianta b) ( $\frac{2}{15}$ ) este valoarea corectă pentru extragerea FĂRĂ revenire (exercițiul anterior), nu pentru cea cu revenire.
Se aruncă două zaruri echilibrate. Care este probabilitatea ca primul zar să arate un număr par și suma fețelor să fie $9$ ?
- a) $\frac{1}{6}$
- b) $\frac{1}{9}$
- c) $\frac{1}{18}$
- d) $\frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{18}$

Perechile cu suma $9$ sunt $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ . Dintre ele, cu primul zar par rămân $(4, 5)$ și $(6, 3)$ — $2$ cazuri din cele $36$ posibile, deci $P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ .

Întrebări conexe

Ce limită superioară are probabilitatea intersecției?

Nu poate depăși niciuna dintre cele două probabilități, deci $P (A \cap B) \leq min (P (A), P (B))$ . Motivul e că partea comună este inclusă în fiecare eveniment. Reuniunea se comportă exact invers: ea nu poate fi mai mică decât oricare dintre cele două.

Cum calculez probabilitatea a două bile albe extrase fără revenire?

Înmulțești probabilitatea primei bile albe cu probabilitatea celei de-a doua, socotită în urna rămasă. Dintr-o urnă cu $4$ albe și $6$ negre obții $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15}$ . Aceeași valoare iese și cu combinări, prin $\frac{C _{4}^{2}}{C _{10}^{2}}$ .

De ce se schimbă și numărătorul, nu doar numitorul?

Fiindcă bila scoasă lipsește și din categoria urmărită, nu doar din total. După ce ai extras o bilă albă dintr-o urnă cu $3$ albe și $5$ negre, rămân $2$ albe din $7$ ; scrierea $\frac{3}{7}$ la al doilea factor este greșită.

Cum extind regula înmulțirii la trei extrageri?

Înmulțești trei factori, fiecare calculat în situația lăsată de extragerile dinainte: $P (A) \cdot P (B ∣ A) \cdot P (C ∣ A \cap B)$ . Pe o diagramă arborescentă, aceasta înseamnă pur și simplu produsul numerelor scrise de-a lungul unui drum.

Ce înseamnă că intersecția a două evenimente este vidă?

Înseamnă că nu se pot produce deodată, deci probabilitatea intersecției este zero, iar evenimentele sunt disjuncte. Atenție, aceasta nu înseamnă independență: dimpotrivă, dacă amândouă au probabilități nenule, ele sunt puternic dependente.

Cum recunosc în enunț că se cere o intersecție?

După cuvintele „și”, „amândouă”, „ambele”, „de două ori la rând”. Reuniunea vine cu „sau” sau „cel puțin unul”. Traducerea corectă a acestor cuvinte decide dacă se înmulțește sau se adună, deci se face înaintea oricărui calcul.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea intersecției · regula înmulțirii probabilităților · probabilitatea ca ambele evenimente să se producă · extragere fără revenire probabilitate