Cum calculez probabilitatea reuniunii?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilitatea reuniunii a două evenimente

Formula este $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ : aduni probabilitățile și scazi partea comună, fiindcă rezultatele din intersecție au fost numărate de două ori. Reuniunea traduce cuvântul „sau”, care în matematică include și situația în care se produc amândouă. Dacă $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ și $P (A \cap B) = 0, 2$ , atunci $P (A \cup B) = 0, 7$ . Când evenimentele nu se pot produce deodată, termenul scăzut este nul.

Reuniunea $A \cup B$ înseamnă „se produce cel puțin unul dintre $A$ și $B$ " — un „sau" neexclusiv, care include și cazul în care se produc amândouă. Numărând pe diagrama Venn, rezultatele din intersecție ar fi socotite de două ori dacă am aduna simplu $card (A) + card (B)$ ; corecția dă formula centrală

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Cazul particular, cel mai des confundat cu regula generală: dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte (nu se pot produce simultan), atunci $P (A \cap B) = 0$ și formula devine simpla adunare $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ . Greșeala tipică e să aplici adunarea directă și când evenimentele se suprapun.

Citită invers, formula dă $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ — varianta cea mai cerută la examen, atunci când enunțul dă direct cele trei probabilități.

Trei verificări rapide: $max (P (A), P (B)) \leq P (A \cup B) \leq min (1, P (A) + P (B))$ , iar evenimentul „nici $A$ , nici $B$ " are probabilitatea $1 - P (A \cup B)$ . Pe un tabel cu patru regiuni (numai $A$ , ambele, numai $B$ , niciunul), suma celor patru trebuie să dea totalul — proba obligatorie a oricărei probleme de acest tip.

De reținut

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
disjuncte: se adună direct
citit invers: $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$

Greșeala tipică

Probabilitățile sunt adunate fără scăderea intersecției, deși evenimentele se pot produce deodată. Suma iese umflată, uneori chiar mai mare decât $1$ , ceea ce arată limpede că partea comună a fost socotită de două ori.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o clasă de $25$ de elevi, $15$ joacă tenis, $10$ joacă șah, iar $4$ joacă ambele sporturi. Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să joace cel puțin unul dintre cele două sporturi?
- a) $\frac{21}{25}$
- b) $1$
- c) $\frac{11}{25}$
- d) $\frac{19}{25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{21}{25}$

$P = \frac{15}{25} + \frac{10}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$ . Varianta b) ar rezulta dintr-o adunare fără scădere, interpretată greșit ca eveniment sigur; c) și d) provin din scăderi incorecte ale intersecției.
Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ de cărți. Care este probabilitatea ca ea să fie treflă sau valet?
- a) $\frac{4}{13}$
- b) $\frac{17}{52}$
- c) $\frac{1}{4}$
- d) $\frac{3}{13}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4}{13}$

$P (trefl \overset{a}{˘}) = \frac{13}{52}$ , $P (valet) = \frac{4}{52}$ , iar $P (trefl \overset{a}{˘} ș i valet) = \frac{1}{52}$ (valetul de treflă). $P (trefl \overset{a}{˘} sau valet) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ . Varianta b) apare dacă se uită să se scadă valetul de treflă, numărat de două ori.
Se aruncă un zar echilibrat. Fie $A$ =«apare $1$ sau $2$ » și $B$ =«apare $5$ sau $6$ ». Care este $P (A \cup B)$ ?
- a) $\frac{5}{6}$
- b) $\frac{1}{3}$
- c) $\frac{2}{3}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{2}{3}$

$A$ și $B$ nu au niciun rezultat comun (sunt disjuncte), deci $P (A \cup B) = P (A) + P (B) = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , fără nicio scădere.

Întrebări conexe

Cum calculez probabilitatea ca exact unul dintre evenimente să se producă?

Scazi intersecția de două ori: $P (A) + P (B) - 2 P (A \cap B)$ . Odată pentru că a fost numărată dublu în sumă, a doua oară pentru că situația „amândouă” trebuie scoasă complet. Este formula cerută când enunțul spune „exact unul dintre ele”.

Între ce limite se află probabilitatea unei reuniuni?

Este cel puțin egală cu cea mai mare dintre cele două probabilități și cel mult egală cu suma lor, fără să treacă de $1$ . Marginea de jos se atinge când un eveniment îl implică pe celălalt, iar cea de sus când sunt disjuncte.

Ce înseamnă regiunea „numai $A$ ” dintr-o diagramă Venn?

Este partea din primul cerc rămasă în afara celui de-al doilea, deci evenimentul se produce fără celălalt. Probabilitatea ei este $P (A) - P (A \cap B)$ , nu $P (A)$ , care include și zona comună.

Ce probă fac pe tabelul cu patru regiuni?

Aduni cele patru numere — numai primul eveniment, amândouă, numai al doilea și niciunul — și compari suma cu totalul din enunț. Egalitatea confirmă că nicio unitate nu a fost numărată de două ori sau uitată.

Cum se scrie probabilitatea reuniunii a trei evenimente?

Aduni cele trei probabilități, scazi cele trei intersecții de câte două și adaugi înapoi intersecția tuturor. Termenul final revine fiindcă a fost scos de trei ori după ce fusese numărat de trei ori, deci lipsea din calcul.

Cum recunosc în enunț că se cere o reuniune?

După cuvintele „sau”, „cel puțin unul dintre”, „măcar unul”. Dacă apare „și” sau „amândouă”, se cere intersecția. Traducerea corectă a acestor cuvinte decide formula, deci merită subliniate înainte de orice calcul.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea reuniunii · reuniune matematică · formula P de A reunit cu B · probabilitatea ca A sau B să se producă