Cum se calculează o probabilitate?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Definiția clasică a probabilității

Când toate rezultatele unui experiment au aceeași șansă, împarți numărul cazurilor favorabile la numărul celor posibile: $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ . La un zar echilibrat, „iese număr par” are trei cazuri favorabile din șase, deci probabilitatea $\frac{1}{2}$ . Condiția ca rezultatele să fie egal posibile este obligatorie și se recunoaște din cuvinte ca „echilibrat” sau „la întâmplare”. Valoarea obținută cade întotdeauna între $0$ și $1$ .

Definiția clasică (Laplace) leagă probabilitatea de numărare: pentru un experiment cu un număr finit de rezultate egal posibile, probabilitatea unui eveniment $A$ este

$P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )},$

adică raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Formula poartă, chiar în enunțul ei, o condiție obligatorie: rezultatele elementare trebuie să fie egal posibile — cuvintele „zar echilibrat", „monedă corectă", „la întâmplare" din enunț garantează această condiție. Fără ea, formula nu se aplică, iar probabilitatea se estimează din frecvențe relative, nu se calculează.

Din definiție rezultă proprietăți folosite ca instrumente de control: $0 \leq P (A) \leq 1$ , $P (\emptyset) = 0$ , $P (Ω) = 1$ , iar dacă $A \subseteq B$ , atunci $P (A) \leq P (B)$ . Orice rezultat în afara intervalului $[0, 1]$ trădează sigur o greșeală de numărare.

Capcana clasică e a lui d'Alembert: la aruncarea a două monede, lista „două steme / o stemă / nicio stemă" pare completă, dar cele trei situații nu sunt egal posibile. Trebuie „mărunțită" descrierea rezultatelor: $Ω = {S S, S B, B S, B B}$ , patru rezultate egal posibile, iar „exact o stemă" are probabilitatea $\frac{1}{2}$ , nu $\frac{1}{3}$ . Regula de aur, valabilă în tot capitolul: cazurile favorabile se numără în același fel ca cele posibile.

De reținut

$P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$
cere rezultate egal posibile
$0 \leq P (A) \leq 1$ , $P (Ω) = 1$

Greșeala tipică

Formula se aplică fără verificarea condiției de egală posibilitate. Când zarul este măsluit sau când rezultatele au fost strânse în categorii, raportul dintre numărul cazurilor nu mai are nicio legătură cu șansele reale.

Exerciții din această mini-lecție

Se aruncă un zar echilibrat. Care este probabilitatea evenimentului „apare un divizor al lui $6$ "?
- a) $\frac{2}{3}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $\frac{5}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2}{3}$

Divizorii lui $6$ dintre fețele zarului sunt $1$ , $2$ , $3$ și $6$ — patru cazuri favorabile din cele $6$ posibile, deci $P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . Variantele b), c) și d) provin din numărarea greșită sau incompletă a divizorilor lui $6$ printre valorile $1$ – $6$ .
Se aruncă simultan două monede corecte, deosebite (de exemplu, una de $1$ leu și una de $50$ de bani). Care este probabilitatea evenimentului „apare cel puțin o pajură"?
- a) $\frac{3}{4}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $\frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{4}$

Mulțimea rezultatelor egal posibile este $Ω = {S S, S P, P S, P P}$ , cu $4$ elemente ( $S$ =stemă, $P$ =pajură), pentru că monedele sunt deosebite. Evenimentul «cel puțin o pajură» este ${S P, P S, P P}$ , cu $3$ cazuri favorabile, deci $P = \frac{3}{4}$ . Varianta c) e exact capcana lui d'Alembert: gruparea greșită „ $0, 1, 2$ pajuri” în trei situații care nu sunt egal posibile.
O urnă conține $5$ bile numerotate de la $1$ la $5$ . Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul ei să fie prim?
- a) $\frac{3}{5}$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $\frac{1}{5}$
- d) $\frac{4}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

Numerele prime din mulțimea ${1, 2, 3, 4, 5}$ sunt $2$ , $3$ și $5$ (atenție: $1$ nu este prim!), deci $3$ cazuri favorabile din $5$ , adică $P = \frac{3}{5}$ . Varianta b) apare dacă se omite un număr prim; c) dacă se numără un singur număr prim; d) confundă evenimentul cu opusul lui.

Întrebări conexe

Ce valori poate lua o probabilitate?

Orice număr din intervalul $[0, 1]$ , capetele incluse. O valoare negativă sau mai mare decât $1$ trădează o eroare la numărătoare, de obicei cazurile favorabile socotite după alt model decât cele posibile. Exprimată în procente, valoarea stă între $0%$ și $100%$ .

Cât este probabilitatea evenimentului sigur?

Este $1$ , fiindcă toate rezultatele îi sunt favorabile, deci raportul are numărătorul egal cu numitorul. Reciproc, la un număr finit de cazuri egal posibile, o probabilitate egală cu $1$ înseamnă că evenimentul se realizează la orice rezultat.

Ce este paradoxul lui d'Alembert?

Este greșeala de a considera „două steme, o stemă, nicio stemă” drept trei rezultate egal posibile la aruncarea a două monede. Ele nu au aceeași greutate: o stemă apare în două feluri, deci probabilitatea ei este $\frac{1}{2}$ , nu $\frac{1}{3}$ .

Dacă un eveniment îl implică pe altul, ce se poate spune despre probabilități?

Cel implicat are probabilitatea cel puțin la fel de mare: din $A \subseteq B$ rezultă $P (A) \leq P (B)$ . Motivul este simplu, mulțimea mai mică are cel mult tot atâtea cazuri favorabile, iar numitorul rămâne același.

Cine a dat definiția clasică a probabilității?

Formularea ca raport între cazurile favorabile și cele posibile îi este atribuită matematicianului francez Laplace. Ea funcționează doar când experimentul are rezultate finite, la fel de probabile între ele; în afara acestui cadru, probabilitatea se estimează din frecvențe observate.

Cât este probabilitatea evenimentului imposibil?

Este $0$ , pentru că mulțimea lui nu are niciun element, deci numărătorul raportului este zero. Invers nu se poate spune întotdeauna la fel de simplu, dar la un număr finit de cazuri egal posibile probabilitatea nulă chiar înseamnă că evenimentul nu se poate produce.

Oamenii mai întreabă și: definiția clasică a probabilității · cum calculez probabilitatea unui eveniment · cazuri favorabile supra cazuri posibile · formula probabilității