Care e șansa de a câștiga la 6 din 49?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilități aplicate: jocuri și teste

Numărul variantelor de bilet este $C_{49}^{6} = 13983816$ , deci un bilet completat are șansa de $1$ din aproape $14$ milioane să prindă toate cele șase numere. Probabilitatea se scrie $\frac{1}{13 983 816}$ , adică aproximativ $0, 0000000715$ . Cumpărarea a zece bilete diferite înmulțește șansa cu zece, dar rămâne infimă. Probabilitate mică nu înseamnă imposibil: evenimentul se produce totuși, la un număr suficient de mare de bilete jucate.

Probabilitățile devin utile atunci când decid ceva concret: câștig la joc, cost al unei asigurări, interpretarea unui test. La loterie, numărul variantelor se calculează cu combinări, de exemplu $C_{49}^{6} = 13983816$ , iar un bilet are probabilitatea de câștig $\frac{1}{13 983 816}$ .

Un joc se judecă pe multe partide, nu pe una: înmulțești probabilitatea de câștig cu numărul de partide, afli câte premii apar și compari banii încasați cu cei plătiți. Aceeași logică stă la baza primei de asigurare: numărul de daune (clienți $\times$ probabilitate) ori despăgubirea, împărțit la numărul de clienți, dă prima de echilibru.

La testele medicale, un rezultat pozitiv nu înseamnă diagnostic sigur. Se lucrează cu un tabel de frecvențe naturale, pe $10000$ de persoane: chiar și un test foarte bun poate da, la o boală rară, mai multe rezultate fals pozitive decât adevărat pozitive, pentru că sănătoșii sunt mult mai numeroși.

La controlul calității, probabilitatea de „cel puțin o piesă defectă” se calculează prin evenimentul contrar, cu combinări: $1$ minus probabilitatea ca toate piesele extrase să fie bune. Probabilitate mică nu înseamnă imposibil, iar probabilitate mare nu înseamnă certitudine.

De reținut

$C_{49}^{6} = 13983816$
probabilitate mică nu înseamnă imposibil
la boli rare, mulți dintre pozitivi sunt sănătoși

Greșeala tipică

Se inversează condiționarea la testele medicale: din „nouăzeci și nouă la sută dintre bolnavi ies pozitivi” se trage concluzia că tot atâția dintre cei pozitivi ar fi bolnavi. Cele două afirmații răspund la întrebări diferite și dau numere foarte depărtate.

Exerciții din această mini-lecție

La o loterie „ $5$ din $40$ ” se extrag $5$ numere dintre $40$ . Câte variante posibile există?
- a) $658008$
- b) $120$
- c) $40$
- d) $8145060$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $658008$

Numărul variantelor este $C_{40}^{5} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 658008$ . Ca la orice loterie, ordinea în care ies numerele nu contează, deci se folosesc combinări, nu aranjamente.
Un test pentru o boală care apare la $5%$ din populație depistează boala la $90%$ dintre bolnavi și dă rezultat pozitiv și la $10%$ dintre oamenii sănătoși. Probabilitatea ca o persoană cu test pozitiv să fie bolnavă este cel mai aproape de:
- a) aproximativ $90%$
- b) aproximativ $32%$
- c) aproximativ $5%$
- d) aproximativ $50%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) aproximativ $32%$

Pe $1000$ de persoane: $50$ bolnavi, $950$ sănătoși. Dintre bolnavi ies pozitivi $45$ ( $90%$ din $50$ ); dintre sănătoși ies pozitivi (fals) $95$ ( $10%$ din $950$ ). Total pozitivi: $140$ , din care doar $45$ sunt bolnavi: $P = \frac{45}{140} = \frac{9}{28} \approx 0, 321$ .
Un lot de $25$ de piese conține $4$ defecte. Controlorul extrage $3$ piese și respinge lotul dacă găsește cel puțin una defectă. Probabilitatea ca lotul să fie respins este cel mai aproape de:
- a) $0, 58$
- b) $0, 16$
- c) $0, 42$
- d) $0, 83$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 42$

Cazuri posibile: $C_{25}^{3} = 2300$ . Contrarul „nicio piesă defectă” înseamnă toate cele $3$ alese dintre cele $21$ bune: $C_{21}^{3} = 1330$ , deci $P (acceptat) = \frac{1 330}{2 300} = \frac{133}{230} \approx 0, 578$ , iar $P (respins) \approx 0, 422$ .

Întrebări conexe

Ce este un tabel de frecvențe naturale?

Este un tabel în care rezultatele unui test se scriu ca număr de persoane dintr-un grup mare, de obicei $10000$ , în loc de procente. Cifrele întregi fac vizibilă comparația dintre bolnavii depistați și sănătoșii declarați greșit pozitivi.

Câte variante de bilet există la loteria $6$ din $49$ ?

Sunt $C_{49}^{6} = 13983816$ variante, fiindcă se aleg șase numere din patruzeci și nouă, iar ordinea lor nu contează. Calculul se face cu formula combinărilor, nu cu aranjamente: biletul este o mulțime, nu o succesiune.

Cum calculez câte premii se dau la un număr mare de bilete?

Înmulțești numărul de bilete jucate cu probabilitatea unui câștig. La un milion de bilete și o șansă de $1$ din $50000$ , se așteaptă în jur de $20$ de câștiguri. Rezultatul este o medie, nu o certitudine pentru o rundă anume.

Probabilitate mică înseamnă imposibil?

Nu. Un eveniment cu probabilitatea $0, 001$ se produce, în medie, o dată la mie de încercări, deci apare sigur dacă încercările sunt destule. Imposibil înseamnă zero cazuri favorabile, ceea ce este cu totul altceva.

Ce decizie iau dacă un test medical iese pozitiv?

Se repetă testul sau se face unul mai precis, fiindcă un singur rezultat pozitiv nu ține loc de diagnostic. Când boala este rară, cei mai mulți dintre cei declarați pozitivi sunt de fapt sănătoși, pur și simplu pentru că sănătoșii sunt mult mai numeroși.

De ce se lucrează pe $10000$ de persoane la testele medicale?

Pentru că la un grup atât de mare toate categoriile ies numere întregi comode, iar comparația se vede dintr-o privire. Alegerea este doar o unealtă de calcul: proporțiile rămân aceleași, indiferent de mărimea grupului ales.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea la loto 6 din 49 · șansa de câștig la loterie · câte variante sunt la 6 din 49 · probabilități în viața reală