Cum număr așezările în care doi stau alături?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Permutări cu restricții

Lipești cele două persoane într-un singur obiect și permuți ce a rămas. Pentru cinci persoane, blocul plus ceilalți trei dau patru obiecte, deci $4! = 24$ de așezări, iar în interiorul blocului cei doi pot sta în $2! = 2$ feluri: total $2! \cdot 4! = 48$ . Pentru cerința opusă, scazi acest număr din toate așezările: $120 - 48 = 72$ . Regula generală, pentru $k$ elemente lipite dintre $n$ , este $k! \cdot (n - k + 1)!$ .

O restricție nu schimbă metoda de numărare, ci doar reduce libertatea de alegere într-unul dintre pași. Trei tehnici acoperă majoritatea situațiilor. Metoda lipirii: dacă $k$ elemente trebuie să stea împreună (bloc compact, în orice ordine), le tratezi ca pe un singur obiect — $k! \cdot (n - k + 1)!$ — factorul $k!$ numără ordinile din interiorul blocului, iar $(n - k + 1)!$ permută blocul împreună cu restul.

Scăderea cazurilor nefavorabile: pentru «nu stau alături» scazi din total exact cazurile în care stau alături (calculate prin lipire). Semnalul din enunț: cuvintele «nu», «niciun» cer aproape mereu complementul.

Metoda locurilor libere: pentru «niciun element din grupul restricționat nu e vecin cu altul din același grup», așezi întâi elementele libere ( $p!$ moduri), apoi strecori elementele restricționate în cele $p + 1$ spații create (înainte, între, după), câte cel mult unul în fiecare spațiu, ținând cont că elementele sunt distincte.

La alternanță (F,B,F,B,…), numeri întâi tiparele posibile, apoi permuți în interiorul fiecărui grup. La ordine relativă impusă între câteva elemente, împarți totalul la numărul de ordini posibile ale acelor elemente.

De reținut

$k$ elemente lipite dintre $n$ : $k! \cdot (n - k + 1)!$
„nu stau alături”: total $-$ cazurile lipite
locuri libere: $p!$ apoi alegerea din cele $p + 1$ spații

Greșeala tipică

Se lipesc două elemente și se scrie doar $(n - 1)!$ . Lipsește factorul $2!$ , care numără cele două ordini posibile dinăuntrul blocului, deci rezultatul iese pe jumătate.

Exerciții din această mini-lecție

$5$ persoane se așază într-un rând. În câte moduri, dacă Ana și Bogdan trebuie să stea unul lângă altul?
- a) $48$
- b) $24$
- c) $120$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $48$

Lipim Ana și Bogdan într-un bloc: rămân $4$ obiecte de permutat, $4! = 24$ moduri; în interiorul blocului sunt $2! = 2$ ordini. Total: $2! \cdot 4! = 48$ .
Aceleași $5$ persoane. În câte moduri se așază dacă Ana și Bogdan nu stau unul lângă altul?
- a) $48$
- b) $72$
- c) $96$
- d) $60$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $72$

Total: $5! = 120$ . Cazurile «alături» au fost numărate anterior: $48$ . Prin complement: $120 - 48 = 72$ .
$3$ fete și $2$ băieți se așază într-un rând, alternând (fată, băiat, fată, băiat, fată). Câte așezări există?
- a) $6$
- b) $120$
- c) $12$
- d) $720$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $12$

Cu grupuri de mărimi $3$ și $2$ , tiparul este unic: F-B-F-B-F. Fetele se permută în $3! = 6$ moduri, băieții în $2! = 2$ moduri: $3! \cdot 2! = 12$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă două elemente trebuie să stea la capete?

Fixezi întâi capetele: alegi care element merge la stânga și care la dreapta, ceea ce dă $2$ variante. Restul de $n - 2$ elemente se permută liber între ele, deci rezultatul este $2 \cdot (n - 2)!$ . Pozițiile cu restricție se ocupă întotdeauna primele.

În câte moduri se așază 5 persoane dacă două dintre ele nu stau alături?

Numeri întâi toate așezările, $5! = 120$ , apoi pe cele în care perechea stă lipită, $2! \cdot 4! = 48$ . Scăzându-le, rămân $120 - 48 = 72$ . Cuvintele care neagă ceva din enunț cer aproape întotdeauna acest ocol prin situațiile nefavorabile.

În câte moduri se așază 7 persoane dacă trei dintre ele formează un bloc compact?

Cele trei devin un singur obiect, deci ai de permutat cinci obiecte: $5! = 120$ . În interiorul blocului cele trei persoane se pot ordona în $3! = 6$ feluri. Înmulțind, obții $6 \cdot 120 = 720$ de așezări.

Câte așezări au 3 fete și 2 băieți dacă trebuie să alterneze?

Cu grupuri de mărimi trei și doi, tiparul este obligat: fată, băiat, fată, băiat, fată. Fetele se pot ordona între ele în $3! = 6$ feluri, băieții în $2! = 2$ , deci ies $6 \cdot 2 = 12$ așezări. Dacă grupurile ar fi egale, ar exista două tipare.

Cum se schimbă numărătoarea dacă persoanele se așază în cerc?

Rotirile întregului cerc dau aceeași așezare, deci una dintre poziții se fixează și se permută restul: pentru $n$ persoane ies $(n - 1)!$ variante, nu $n!$ . Restricțiile se tratează la fel ca pe rând, dar locurile libere dintre cei deja așezați sunt cu unul mai puține, fiindcă cercul se închide.

Ce cuvinte din enunț arată că trebuie scăzute cazurile nefavorabile?

Negațiile: „nu stau alături”, „niciunul dintre ei”, „cel puțin unul”. Ele descriu situații greu de numărat direct, dar al căror contrariu se numără ușor. Calea sigură este să afli totalul, apoi să scazi ce nu convine, cu grijă la formularea exactă a contrariului.

Oamenii mai întreabă și: permutări cu restricții · metoda lipirii la permutări · două persoane care stau alături · așezări în care doi nu stau alături · metoda locurilor libere