În câte moduri pot forma o echipă din n oameni?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probleme practice de numărare

Dacă membrii nu primesc roluri diferite, numeri submulțimile: o echipă de $k$ oameni dintr-un grup de $n$ se alege în $C_{n}^{k}$ feluri. Dintr-un lot de doisprezece jucători, o echipă de cinci se poate forma în $C_{12}^{5} = 792$ de moduri. Când grupul are categorii, alegi separat din fiecare și înmulțești rezultatele. Când enunțul cere „cel puțin unul”, e mai scurt să scazi din total situațiile în care nu apare niciunul.

La probleme practice, greutatea nu e în calcul, ci în traducere: citești un enunț despre coduri, echipe sau drumuri, și decizi ce instrument matematic se potrivește, cu cele trei întrebări deja cunoscute (repetiție? ordine? câte din câte?).

Coduri și parole: cu repetiție, regula produsului ( $1 0^{k}$ pentru un cod de $k$ cifre); cu simboluri distincte, aranjamente ( $A_{n}^{k}$ ). Echipe și comisii cu categorii (fete/băieți, roluri distincte): alegi separat din fiecare categorie și înmulțești — $C_{a}^{p} \cdot C_{b}^{q}$ . Pentru «cel puțin unu», numărarea prin complement e aproape întotdeauna mai rapidă decât pe cazuri: total $-$ cazuri fără niciunul.

Drumurile minime într-o rețea de străzi sunt combinări deghizate: un drum cu $m$ pași într-o direcție și $n$ pași în cealaltă se alege prin poziția pașilor «sus» printre cei $m + n$ pași totali, deci $C_{m + n}^{n}$ drumuri.

Verificarea rezultatului se face prin trei obiceiuri: testul pe caz mic (enumeri manual o variantă redusă), testul celor două drumuri (numeri în două feluri și compari), testul ordinului de mărime (rezultatul cu restricție trebuie să fie mai mic decât totalul).

De reținut

echipă fără roluri: $C_{n}^{k}$
categorii separate: $C_{a}^{p} \cdot C_{b}^{q}$
drumuri minime: $C_{m + n}^{n}$

Greșeala tipică

Se numără drumurile minime dintr-o rețea de străzi înmulțind pașii pe cele două direcții. Numărul lor este dat de alegerea pozițiilor pe care cad pașii dintr-o direcție, deci este o combinare.

Exerciții din această mini-lecție

Câte coduri PIN de $5$ cifre există, cifrele putându-se repeta?
- a) $100000$
- b) $30240$
- c) $15120$
- d) $50000$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $100000$

Fiecare din cele $5$ poziții are $10$ variante, cu repetiție permisă: $1 0^{5} = 100000$ .
Dintr-un grup de $7$ bărbați și $8$ femei se alege o comisie de $5$ persoane, cu exact $2$ bărbați. Câte comisii există?
- a) $792$
- b) $1176$
- c) $56$
- d) $336$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1176$

Alegerile pe categorii sunt independente, deci se înmulțesc: $C_{7}^{2} \cdot C_{8}^{3} = 21 \cdot 56 = 1176$ .
Într-o rețea de străzi, de la un punct la altul trebuie parcurși $5$ blocuri spre est și $2$ blocuri spre nord. Câte drumuri minime există?
- a) $10$
- b) $35$
- c) $21$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $21$

Orice drum minim are $7$ pași, dintre care $2$ sunt «nord»: alegerea pozițiilor lor dă $C_{7}^{2} = 21$ drumuri.

Întrebări conexe

Câte plăcuțe se pot forma din 3 litere urmate de 3 cifre, cu repetiție?

Fiecare poziție de literă are $26$ de variante, iar fiecare cifră are $10$ . Etapele fiind independente, numerele se înmulțesc: $2 6^{3} \cdot 1 0^{3} = 17576 \cdot 1000$ , adică peste șaptesprezece milioane de plăcuțe diferite. Dacă simbolurile ar trebui să fie distincte, fiecare grup s-ar număra cu aranjamente.

Ce se schimbă dacă o comisie are și un președinte?

Alegerea membrilor rămâne o combinare, dar peste ea se adaugă alegerea persoanei cu rol, deci rezultatul se înmulțește cu numărul de membri. La o comisie de cinci, fiecare grup ales dă cinci variante, după cine primește funcția.

Cum număr anagramele unui cuvânt cu litere care se repetă?

Iei toate permutările literelor și împarți la factorialele grupurilor de litere identice, fiindcă schimbarea lor între ele nu dă un cuvânt nou. Pentru un cuvânt de cinci litere în care două se repetă, ies $\frac{5 !}{2 !}$ variante distincte.

Ce înseamnă că două numărători dau rezultate diferite la aceeași problemă?

Că una dintre ele numără de mai multe ori aceeași posibilitate sau sare peste unele. Cauza obișnuită este confundarea alegerilor ordonate cu cele neordonate. Compararea celor două drumuri, pas cu pas, arată exact unde apare dublarea.

Cum modelez o problemă în care unele obiecte trebuie să stea alături?

Le lipești într-un singur bloc și numeri permutările blocurilor, apoi înmulțești cu permutările dinăuntrul blocului. Pentru cinci persoane dintre care două trebuie să stea împreună, ies $4! \cdot 2!$ așezări, adică 48.

Cum aleg din fiecare categorie într-o problemă cu comisii mixte?

Tratezi fiecare categorie separat, cu propria combinare, apoi înmulțești rezultatele, fiindcă alegerile nu se influențează. Pentru $p$ persoane dintr-o grupă cu $a$ membri și $q$ din alta cu $b$ membri obții $C_{a}^{p} \cdot C_{b}^{q}$ . Adunarea ar fi potrivită doar dacă enunțul ar cere una sau alta.

Oamenii mai întreabă și: probleme practice de numărare · câte echipe se pot forma · numărare cu cel puțin unul · drumuri minime într-o rețea de străzi · comisii cu bărbați și femei