Câte numere cu cifre diferite se pot forma?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probleme rezolvate cu aranjamente

Ocupi întâi prima poziție, care are doar nouă variante, fiindcă un număr nu începe cu zero, apoi completezi restul cu aranjamente din cele nouă cifre rămase. Pentru numere de $k$ cifre diferite rezultatul este $9 \cdot A_{9}^{k - 1}$ . La trei cifre obții $9 \cdot A_{9}^{2} = 9 \cdot 72 = 648$ , nu $A_{10}^{3} = 720$ ; diferența de $72$ sunt tocmai șirurile care ar începe cu zero. La coduri și parole restricția dispare, fiindcă acolo zeroul este permis în față.

Recunoști o problemă de aranjamente răspunzând la trei întrebări: elementele se repetă? contează ordinea? câte alegi din câte? Dacă răspunsul e «nu se repetă» și «ordinea contează», ai $A_{n}^{k}$ .

Capcana cifrei $0$ este cea mai frecventă greșeală a capitolului: la numerele cu cifre distincte, prima cifră nu poate fi $0$ . Rezolvarea corectă ocupă întâi prima poziție ( $9$ variante, orice cifră nenulă), apoi completează restul cu aranjamente din cele $9$ cifre rămase (acum $0$ e permis): pentru numere de $k$ cifre distincte, formula este $9 \cdot A_{9}^{k - 1}$ , nu $A_{10}^{k}$ . Când enunțul cere o condiție suplimentară (par, impar, «mai mare decât...»), ocupi întâi poziția cu cea mai severă restricție.

Codurile și parolele nu sunt numere: un cod PIN poate începe cu $0$ , pentru că e un șir de simboluri, nu o valoare numerică — restricția «fără $0$ la început» e specifică numerelor.

În limbaj de funcții, numărul funcțiilor injective de la o mulțime cu $k$ elemente la una cu $n$ elemente este exact $A_{n}^{k}$ : fiecare element din domeniu primește o valoare distinctă din codomeniu, alese în ordine.

De reținut

numere de $k$ cifre diferite: $9 \cdot A_{9}^{k - 1}$
întâi poziția cu restricția cea mai severă
codurile nu sunt numere: pot începe cu $0$

Greșeala tipică

Se folosește $A_{10}^{k}$ direct pentru numerele cu cifre diferite. În acel total intră și șirurile care încep cu zero, care nu sunt numere de $k$ cifre, deci rezultatul iese prea mare.

Exerciții din această mini-lecție

Câte numere de trei cifre distincte, formate cu cifrele mulțimii ${1, 2, \dots, 9}$ , sunt pare?
- a) $224$
- b) $336$
- c) $56$
- d) $168$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $224$

Cifra unităților trebuie să fie pară: $2, 4, 6, 8$ — $4$ variante. Sutele și zecile se aleg, în ordine, dintre cele $8$ cifre rămase: $A_{8}^{2} = 56$ . Total: $4 \cdot 56 = 224$ .
Câte funcții injective se pot defini de la o mulțime cu $4$ elemente la una cu $7$ elemente?
- a) $2401$
- b) $840$
- c) $35$
- d) $28$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $840$

Fiecare din cele $4$ elemente ale domeniului primește o valoare distinctă dintre cele $7$ , alese în ordine: $A_{7}^{4} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ .
Câte parole de $3$ litere distincte se pot forma cu literele alfabetului latin ( $26$ de litere)?
- a) $2600$
- b) $17576$
- c) $15600$
- d) $78$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $15600$

Literele nu se repetă, ordinea contează: $A_{26}^{3} = 26 \cdot 25 \cdot 24 = 15600$ .

Întrebări conexe

De ce prima cifră a unui număr nu poate fi 0?

Pentru că un zero în față nu schimbă valoarea, iar scrierea nu ar mai fi cea obișnuită: $047$ înseamnă tot $47$ , un număr de două cifre. Restricția privește numerele, nu șirurile de simboluri, așa că la coduri sau parole ea nu se aplică.

Câte numere impare de patru cifre distincte se pot forma?

Ocupi întâi unitățile, care trebuie să fie una dintre cele cinci cifre impare. Prima cifră are apoi $8$ variante, zeroul și cifra deja folosită fiind excluse. Rămân $8$ și $7$ pentru celelalte două poziții, deci rezultatul este $5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2240$ .

Cum număr cuvintele de trei litere în care o literă se poate repeta?

Cu regula produsului, nu cu aranjamente: fiecare poziție are aceleași variante, fiindcă nimic nu se scoate din ofertă. La un alfabet cu $n$ litere și trei poziții rezultatul este $n^{3}$ , mai mare decât numărul cuvintelor cu litere distincte.

Ce se schimbă dacă o poziție are o valoare fixată dinainte?

Poziția aceea nu mai aduce nicio variantă, iar celelalte se numără dintr-o mulțime mai mică cu un element. Fixarea se tratează întotdeauna prima, înainte de a număra restul, altfel elementul folosit ar fi luat de două ori.

Câte așezări are un grup dacă doi membri nu au voie să stea alături?

Scazi din numărul total de așezări pe cele în care ei stau împreună. Lipindu-i într-un bloc obții așezările interzise, iar diferența dă răspunsul. Numărarea prin scădere este mai scurtă decât împărțirea în cazuri.

Ce formulă dă numărul numerelor de k cifre distincte?

Este $9 \cdot A_{9}^{k - 1}$ : primul factor numără alegerile pentru cifra din față, iar al doilea completează restul pozițiilor din cifrele rămase, zeroul fiind acum permis. Formula ține pentru orice $k$ de la $1$ la $10$ ; peste $10$ nu mai există astfel de numere.

Oamenii mai întreabă și: câte numere de trei cifre distincte există · numere cu cifre diferite · de ce nu folosesc A de 10 luate câte 3 · codurile PIN pot începe cu zero · funcții injective câte sunt