Proprietatea logaritmului produsului este:

$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$ (pentru $$x,y>0$$)

$$\log_a(xy)=\log_ax\cdot\log_ay$$

$$\log_a(x+y)$$ se poate desface în:

nu se poate desface, nu există formulă pentru logaritmul unei sume

Cum se desface logaritmul unui produs?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Proprietățile logaritmilor: produs, cât, putere

Se desface în suma logaritmilor factorilor: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , pentru $x > 0$ și $y > 0$ . Explicația stă în natura logaritmului: el fiind un exponent, produsul din interior corespunde adunării exponenților. Astfel $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4 = lo g_{2} 32 = 5$ . Alături de ea stau logaritmul câtului, care devine diferență, și logaritmul unei puteri, unde exponentul coboară în fața logaritmului.

Logaritmul este un exponent, iar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună — de aici cele trei proprietăți fundamentale ale logaritmilor, care transformă înmulțirile în adunări.

Produs: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , pentru $x > 0$ și $y > 0$ . Cât: $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ , cu cazul particular $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ . Putere: $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ , pentru $x > 0$ și $n$ real; de aici $lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ .

Nu există nicio formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ — suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată; se verifică ușor numeric: $lo g_{2} (8 + 8) = 4$ , nu $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = 6$ .

Pentru $x$ care poate fi negativ, forma corectă a proprietății puterii pentru exponent par este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ — modulul nu se uită. Aceste proprietăți permit descompunerea unei expresii complicate în sume și diferențe de logaritmi simpli, sau restrângerea unei sume de logaritmi într-unul singur, și stau la baza calculelor cu o singură valoare memorată (de exemplu $l g 2 \approx 0, 3010$ ). Greșeli frecvente: „desfacerea” logaritmului unei sume, aplicarea proprietății produsului fără verificarea semnului fiecărui factor, și mutarea greșită a coeficientului la restrângere ( $3 lo g_{2} x = lo g_{2} x^{3}$ , nu $lo g_{2} 3 x$ ).

De reținut

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ ; pentru $x$ oarecare, $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$

Greșeala tipică

Se scrie $lo g_{a} (x + y)$ ca sumă de logaritmi. Suma din interiorul unui logaritm nu se desface niciodată; regula privește numai produsul.

Exerciții din această mini-lecție

Proprietatea logaritmului produsului este:
- a) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (pentru $x, y > 0$ )
- b) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
- c) $lo g_{a} (x y) = (lo g_{a} x) (lo g_{a} y)$
- d) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (pentru $x, y > 0$ )

Logaritmul produsului este suma logaritmilor factorilor, cu condiția ca ambii factori să fie strict pozitivi.
Proprietatea logaritmului puterii este:
- a) $lo g_{a} x^{n} = (lo g_{a} x)^{n}$
- b) $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ (pentru $x > 0$ )
- c) $lo g_{a} x^{n} = n + lo g_{a} x$
- d) $lo g_{a} x^{n} = lo g_{a} (n x)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ (pentru $x > 0$ )

Exponentul coboară ca factor înmulțit cu logaritmul bazei rămase — cea mai folosită dintre cele trei proprietăți.
$lo g_{a} (x + y)$ se poate desface în:
- a) $lo g_{a} x + lo g_{a} y$
- b) $lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y$
- c) nu se poate desface, nu există formulă pentru logaritmul unei sume
- d) $lo g_{a} x - lo g_{a} y$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu se poate desface, nu există formulă pentru logaritmul unei sume

Nu există nicio formulă pentru logaritmul unei sume — verificare: $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 16 = 4 \neq = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = 6$ .

Întrebări conexe

Cum se transformă logaritmul unui cât?

Devine diferența logaritmilor: $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ , cu ambele argumente strict pozitive. Un caz particular folosit des este $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ , obținut punând $x = 1$ . Ordinea termenilor contează, fiindcă scăderea nu este comutativă: logaritmul numărătorului trece primul, iar cel al numitorului se scade.

Cum coboară exponentul dintr-un logaritm de putere?

Trece în fața logaritmului ca factor: $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ , pentru $x > 0$ și $n$ real. De aici rezultă și regula pentru radicali, $lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ . Este proprietatea care transformă calcule grele în înmulțiri simple.

Ce condiții trebuie îndeplinite ca proprietățile să poată fi folosite?

Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$ , iar argumentele strict pozitive. Verificarea se face înainte de orice desfacere, fiindcă altfel se pot pierde sau adăuga soluții la o ecuație. Condițiile se scriu o dată, la începutul rezolvării.

Ce se întâmplă cu logaritmul dacă înmulțesc argumentul cu baza?

Crește cu exact o unitate, fiindcă logaritmul bazei este $1$ , iar produsul se desface într-o sumă. Astfel, trecând de la un argument la altul de zece ori mai mare, logaritmul zecimal urcă mereu cu unu.

Cum trec un logaritm dintr-o bază în alta?

Împarți logaritmul argumentului la logaritmul bazei vechi, amândouă scrise în baza nouă. Astfel $lo g_{8} 32$ devine, în baza $2$ , raportul $\frac{5}{3}$ . Formula se folosește ori de câte ori într-o ecuație apar logaritmi cu baze diferite.

Cum se scrie logaritmul unui radical folosind proprietatea puterii?

Rescrii radicalul ca putere cu exponent fracționar, apoi cobori exponentul în față: $lo g_{a} 3 x = lo g_{a} x^{1/3} = \frac{1}{3} lo g_{a} x$ . Pasul este util la restrângeri, unde toate componentele trebuie aduse la aceeași formă înainte de a fi adunate. Condiția $x > 0$ rămâne obligatorie și aici.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile logaritmilor · logaritmul unui produs · logaritmul unui cât și al unei puteri · restrângerea unei expresii cu logaritmi · de ce nu se desface logaritmul unei sume