Se aplică regulile puterilor și la radicali?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Proprietățile puterilor cu exponent rațional

Da, dacă rescrii radicalii ca puteri cu exponent fracționar și bazele sunt strict pozitive. Atunci rămân valabile toate cele cinci reguli: $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ , $\frac{a ^{r}}{a ^{s}} = a^{r - s}$ , $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ , $(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$ și $(\frac{a}{b})^{r} = \frac{a ^{r}}{b ^{r}}$ . De exemplu, $6 4^{1/2} \cdot 6 4^{1/3} = 6 4^{5/6} = 32$ . În schimb, pentru sume nu există nicio regulă: radicalul unei sume nu se desface în suma radicalilor.

Toate cele cinci reguli ale puterilor cu exponent întreg rămân valabile și pentru exponenți raționali, cu condiția ca bazele să fie strict pozitive: $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ , $\frac{a ^{r}}{a ^{s}} = a^{r - s}$ , $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ , $(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$ , $(\frac{a}{b})^{r} = \frac{a ^{r}}{b ^{r}}$ . Ele se demonstrează pornind de la definiția cu radicali și proprietățile radicalilor.

Nu există reguli pentru sume: $(a + b)^{r} \neq = a^{r} + b^{r}$ — verifică pe $a = 3, b = 4$ : $3^{2} + 4^{2} = 5$ , dar $3 + 4 = 7$ . La sume se folosesc formulele de calcul prescurtat, nu proprietățile puterilor.

Radicalii imbricați se contopesc: $m n a = a^{\frac{1}{mn}}$ — ordinele radicalilor se înmulțesc, nu se adună.

Rețeta practică de calcul: descompune bazele în factori primi, aduce totul la o bază comună, apoi adună sau scade exponenții. Aceeași idee permite compararea radicalilor de ordine diferite: aduci exponenții la un numitor comun, obții același ordin de radical și compari radicandele.

Greșeli frecvente: înmulțirea exponenților la produs în loc de adunare ( $a^{1/2} \cdot a^{1/3} = a^{5/6}$ , nu $a^{1/6}$ ), aplicarea proprietăților la sume, uitarea condiției $a > 0$ scrisă explicit pe foaie, și confuzia dintre $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ și scrierea cu exponent etajat $a^{r^{s}}$ , complet diferită.

De reținut

$a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ și $\frac{a ^{r}}{a ^{s}} = a^{r - s}$
$(a^{r})^{s} = a^{r s}$
$m n a = a^{\frac{1}{mn}}$

Greșeala tipică

Se desface radicalul unei sume în suma radicalilor. Regulile puterilor privesc numai produse și câturi, așa că paranteza se calculează întâi, iar radicalul se extrage abia la sfârșit.

Exerciții din această mini-lecție

Regula de calcul pentru produsul $a^{r} \cdot a^{s}$ (cu $a > 0$ ) este:
- a) $a^{r + s}$
- b) $a^{r - s}$
- c) $a^{r / s}$
- d) $a^{r s}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a^{r + s}$

La produsul a două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.
Cât este $(a^{2/3})^{3}$ ?
- a) $a^{2/9}$
- b) $a^{2}$
- c) $a^{6}$
- d) $a^{9/2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a^{2}$

Putere la putere: exponenții se înmulțesc, $\frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ , deci rezultatul este $a^{2}$ .
Radicalii imbricați $3 a$ sunt egali cu:
- a) $a^{6}$
- b) $5 a$
- c) $6 a$
- d) $a^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6 a$

$3 a = a^{\frac{1}{3 \cdot 2}} = a^{1/6} = 6 a$ : ordinele radicalilor imbricați se înmulțesc.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu exponenții la produsul a două puteri cu aceeași bază?

Se adună, oricât de complicați ar fi: $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ . Regula ține și pentru fracții, cu condiția ca baza să fie strict pozitivă. Ea explică de ce doi radicali de ordine diferite se pot înmulți după ce îi scrii ca puteri.

Cât face 64 la puterea o doime înmulțit cu 64 la puterea o treime?

Aduni exponenții: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ , deci obții $6 4^{5/6}$ . Cum $2^{6} = 64$ , baza se poate scrie ca $2^{6}$ , iar puterea devine $2^{5} = 32$ . Calculând separat cei doi factori ai fi obținut $8 \cdot 4$ , adică tot $32$ .

Cu ce este egal radicalul de ordinul trei din radicalul de ordinul doi dintr-un număr?

Ordinele se înmulțesc, nu se adună: $3 a = a^{1/6} = 6 a$ . Motivul se vede în scrierea cu exponenți, unde apare produsul $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ . Regula se extinde la oricâți radicali suprapuși.

De ce radicalul din 3 la pătrat plus 4 la pătrat nu este 3 plus 4?

Fiindcă regulile puterilor privesc produsele și câturile, nu sumele. Numeric: $9 + 16 = 25 = 5$ , în timp ce $3 + 4 = 7$ . La sume folosești formulele de calcul prescurtat sau calculezi întâi paranteza, apoi extragi radicalul.

Cum aduc două puteri la o bază comună înainte de calcul?

Descompui bazele în factori primi și cauți numărul care le generează pe amândouă. Astfel $4$ , $8$ și $16$ devin puteri ale lui $2$ , iar $9$ și $27$ puteri ale lui $3$ . După rescriere, exponenții se adună sau se scad direct.

Cât face 64 la puterea două treimi împărțit la 64 la puterea o doime?

La împărțire exponenții se scad: $\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ , deci rămâne $6 4^{1/6}$ . Radicalul de ordinul șase din $64$ este $2$ , fiindcă $2^{6} = 64$ . Verificare directă: $16$ împărțit la $8$ dă tot $2$ .

Oamenii mai întreabă și: proprietățile puterilor cu exponent rațional · reguli de calcul cu radicali de ordine diferite · cum înmulțesc radicali de ordine diferite · radicali imbricați · exponenții se adună la produs