Puterea $$2^{\sqrt2}$$ se definește prin:

încadrarea între puteri raționale tot mai apropiate ale lui $$\sqrt2$$

o aproximare aleasă complet arbitrar

Este adevărat că $$2^{\sqrt2}=2^{1{,}41}$$, ca egalitate exactă?

nu, $$2^{1{,}41}$$ este doar o aproximare, nu valoarea exactă

Ce este o putere cu exponent irațional?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Puteri cu exponent irațional: aproximarea

Este numărul spre care se apropie puterile cu exponenți raționali atunci când exponentul irațional este prins între fracții tot mai apropiate. Pentru $2^{2}$ pornești de la $1, 4 < 2 < 1, 5$ , apoi $1, 41 < 2 < 1, 42$ și așa mai departe; puterile corespunzătoare încadrează o singură valoare reală, care primește numele $2^{2}$ . Fiecare zecimală în plus la exponent fixează încă o cifră a rezultatului, aproximativ $2, 665$ .

Definiția $a^{m / n} = n a^{m}$ cere ca exponentul să fie o fracție. Numărul $2$ nu este fracție — deci nu există niciun ordin de radical de pus pentru $2^{2}$ . Și totuși acest număr are o valoare bine determinată, iar programa cere construcția ei la nivel intuitiv, prin ideea de aproximare.

Ideea: încadrezi exponentul irațional $x$ între numere raționale, prin lipsă și prin adaos, tot mai apropiate ( $1, 4 < 2 < 1, 5$ ; apoi $1, 41 < 2 < 1, 42$ ; și așa mai departe). Puterile raționale corespunzătoare încadrează, la rândul lor, un singur număr real, pe care îl numim $a^{x}$ . Fiecare zecimală în plus la exponent fixează, aproximativ, încă o cifră a rezultatului.

Pentru $a > 1$ , puterile păstrează ordinea exponenților; pentru $0 < a < 1$ , ordinea se răstoarnă — exponent mai mare înseamnă rezultat mai mic; pentru $a = 1$ , $1^{x} = 1$ pentru orice $x$ . Baza rămâne strict pozitivă: la baze negative, aproximările cu numitor par nici nu produc numere reale.

Greșeli frecvente: confundarea unei aproximări cu valoarea exactă (scrierea „ $2^{2} = 2^{1, 41}$ ” ca egalitate, când e doar o margine), uitarea răsturnării la baze subunitare și acceptarea bazelor negative „pentru că exponentul e pozitiv” — condiția privește baza, nu exponentul.

De reținut

exponent irațional: prins între raționale tot mai apropiate
$2^{2} \approx 2, 665$
bază subunitară: ordinea se răstoarnă

Greșeala tipică

Se scrie $2^{2}$ ca radical de un anumit ordin. Ordinul unui radical este un număr natural, iar $2$ nu este fracție, deci nicio scriere cu radical nu funcționează.

Exerciții din această mini-lecție

Puterea $2^{2}$ se definește prin:
- a) încadrarea între puteri raționale tot mai apropiate ale lui $2$
- b) nu se poate defini
- c) o aproximare aleasă complet arbitrar
- d) o formulă exactă cu radicali
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) încadrarea între puteri raționale tot mai apropiate ale lui $2$

Se încadrează $2$ între raționale tot mai apropiate, iar puterile corespunzătoare încadrează un singur număr real — acesta este $2^{2}$ .
Definiția puterii cu exponent irațional necesită ca baza să fie:
- a) număr întreg
- b) orice număr real
- c) strict pozitivă
- d) strict negativă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) strict pozitivă

La baze negative, aproximările cu numitor par nu produc numere reale, deci încadrarea nu se poate face.
Este adevărat că $2^{2} = 2^{1, 41}$ , ca egalitate exactă?
- a) da, dar doar pentru $a > 1$
- b) nu se pot compara niciodată
- c) da, întotdeauna
- d) nu, $2^{1, 41}$ este doar o aproximare, nu valoarea exactă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu, $2^{1, 41}$ este doar o aproximare, nu valoarea exactă

$2^{1, 41}$ este doar o margine (din încadrarea prin lipsă), nu valoarea exactă a lui $2^{2}$ , oricâte zecimale ai lua.

Întrebări conexe

Cum se strânge intervalul care încadrează o putere cu exponent irațional?

Iei tot mai multe zecimale ale exponentului. La o zecimală, $2^{2}$ stă între $2^{1, 4}$ și $2^{1, 5}$ ; la două zecimale, între $2^{1, 41}$ și $2^{1, 42}$ . Intervalele se cuprind unul pe altul și se strâng oricât de mult, lăsând înăuntru un singur număr real.

Este 2 la puterea 1,41 egal exact cu 2 la puterea radical din 2?

Nu, este doar marginea de jos a unei încadrări. Oricâte zecimale ai lua, exponentul rațional rămâne diferit de $2$ , deci puterea rămâne o aproximare. Egalitatea nu se atinge niciodată, dar diferența poate fi făcută oricât de mică.

Care este partea întreagă a lui 2 la puterea radical din 2?

Este $2$ . Din $1 < 2 < 2$ rezultă $2^{1} < 2^{2} < 2^{2}$ , adică valoarea stă între $2$ și $4$ . Calculul mai fin dă aproximativ $2, 665$ , deci partea întreagă este într-adevăr $2$ .

Între ce puteri întregi ale lui 3 se află 3 la puterea pi?

Din $3 < π < 4$ și din faptul că baza este mai mare decât $1$ rezultă $3^{3} < 3^{π} < 3^{4}$ , adică numărul se află între $27$ și $81$ . O încadrare mai strânsă se obține luând mai multe zecimale ale lui $π$ .

Ce se întâmplă cu ordinea puterilor când baza este între 0 și 1?

Se răstoarnă: un exponent mai mare dă un rezultat mai mic. Din $1, 4 < 1, 5$ rezultă $0, 5^{1, 4} > 0, 5^{1, 5}$ . De aceea, la baze subunitare, încadrarea exponentului trebuie citită în sens invers atunci când treci la puteri.

De ce nu poate fi negativă baza unei puteri cu exponent irațional?

Fiindcă încadrarea folosește exponenți raționali cu numitori oarecare, iar cei pari nu dau numere reale pentru o bază negativă. Șirul care ar trebui să se apropie de rezultat nici nu se poate scrie, deci puterea nu are sens.

Oamenii mai întreabă și: putere cu exponent irațional · cât face 2 la puterea radical din 2 · aproximare prin lipsă și prin adaos · exponent irațional cum se definește · de ce nu se scrie ca radical