Ecuația $$1^x=1^y$$ implică $$x=y$$?

nu, baza $$1$$ face ca proprietatea de injectivitate să nu se aplice

da, întotdeauna, prin injectivitate

doar dacă $$x,y$$ sunt numere naturale

Care sunt regulile puterilor cu exponent real?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Puteri cu exponent real: reguli de calcul

Pentru baze strict pozitive rămân aceleași cinci reguli ca la exponenți întregi: $a^{x} a^{y} = a^{x + y}$ , $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ , $(ab)^{x} = a^{x} b^{x}$ și $(\frac{a}{b})^{x} = \frac{a ^{x}}{b ^{x}}$ , iar rezultatul este mereu pozitiv. Din ele decurg două fapte folosite peste tot: la bază supraunitară un exponent mai mare dă o valoare mai mare, iar din $a^{x} = a^{y}$ rezultă $x = y$ , cu condiția ca baza să nu fie $1$ .

Toate regulile de calcul de la exponenți raționali se transmit, prin aproximare, la exponenți reali, cu baze strict pozitive: $a^{x} a^{y} = a^{x + y}$ , $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ , $(ab)^{x} = a^{x} b^{x}$ , $(\frac{a}{b})^{x} = \frac{a ^{x}}{b ^{x}}$ , iar $a^{x} > 0$ pentru orice $x$ real.

Cu asta câștigăm două rezultate esențiale, care deschid ecuațiile din lecțiile viitoare. Monotonia: pentru $a > 1$ , exponent mai mare dă putere mai mare; pentru $0 < a < 1$ , ordinea se răstoarnă; pentru $a = 1$ , puterea e constant $1$ . **Injectivitatea**: dacă $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $a^{x} = a^{y}$ , atunci $x = y$ — condiția $a \neq = 1$ nu se omite niciodată, pentru că orice exponent dă $1^{x} = 1$ .

Există și o comparare cu același exponent, baze diferite: pentru $x > 0$ , baza mai mare dă puterea mai mare; pentru $x < 0$ , ordinea se răstoarnă.

Rețeta la exerciții: caută exponenți conjugați (a căror sumă sau diferență e un număr întreg) și lucrează simbolic, fără calcul aproximativ — de exemplu $a^{3 + 1} \cdot a^{1 - 3} = a^{2}$ . Greșeli frecvente: uitarea răsturnării la baze subunitare, omiterea condiției $a \neq = 1$ la injectivitate și calculul aproximativ prematur al unor exponenți iraționali, acolo unde se cere o valoare exactă.

De reținut

$a^{x} a^{y} = a^{x + y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y}$
$a^{x} > 0$ pentru orice $x$ real
$a^{x} = a^{y} \Rightarrow x = y$ , dacă $a \neq = 1$

Greșeala tipică

Se egalează exponenții fără a verifica baza, chiar și când aceasta poate fi $1$ . Pasul cere $a > 0$ și $a \neq = 1$ , altfel egalitatea puterilor nu spune nimic despre exponenți.

Exerciții din această mini-lecție

Proprietatea injectivă a puterilor spune: dacă $a > 0, a \neq = 1$ și $a^{x} = a^{y}$ , atunci:
- a) $x = y$
- b) nu putem concluziona nimic
- c) $x = - y$
- d) $x \cdot y = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = y$

Injectivitatea funcției $x \mapsto a^{x}$ (pentru $a \neq = 1$ ) garantează că puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali.
Calculați $2^{3 + 1} \cdot 2^{1 - 3}$ .
- a) $2$
- b) $2^{23}$
- c) $4$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Exponenții se adună: $(3 + 1) + (1 - 3) = 2$ , deci rezultatul este $2^{2} = 4$ .
Ecuația $1^{x} = 1^{y}$ implică $x = y$ ?
- a) da, întotdeauna, prin injectivitate
- b) doar dacă $x, y$ sunt numere naturale
- c) doar dacă $x = 0$
- d) nu, baza $1$ face ca proprietatea de injectivitate să nu se aplice
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu, baza $1$ face ca proprietatea de injectivitate să nu se aplice

Injectivitatea cere explicit $a \neq = 1$ . Pentru baza $1$ , orice exponent dă valoarea $1$ , deci $x$ și $y$ pot fi oricât de diferite.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că puterile cu aceeași bază sunt injective?

Înseamnă că două puteri egale, scrise cu aceeași bază, au obligatoriu exponenți egali. Simbolic, din $a^{x} = a^{y}$ rezultă $x = y$ , pentru $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Pe acest fapt se sprijină rezolvarea tuturor ecuațiilor în care necunoscuta stă la exponent.

Cât face 2 la puterea radical din 3 plus 1, înmulțit cu 2 la puterea 1 minus radical din 3?

Baza fiind aceeași, exponenții se adună: $(3 + 1) + (1 - 3) = 2$ , fiindcă radicalii se anulează reciproc. Rămâne $2^{2} = 4$ . Perechile de exponenți construite astfel se numesc conjugate și apar des la exerciții.

De ce nu se omite condiția bază diferită de 1?

Pentru că orice putere a lui $1$ dă tot $1$ , deci egalitatea $1^{x} = 1^{y}$ este adevărată pentru orice exponenți. Din ea nu poți trage nicio concluzie despre $x$ și $y$ . Fără condiția aceasta, pasul de egalare a exponenților ar fi greșit.

Cât face 5 la puterea radical din 2 plus 3, înmulțit cu 5 la puterea 2 minus radical din 2?

Baza fiind aceeași, aduni exponenții: $(2 + 3) + (2 - 2) = 5$ , fiindcă cei doi radicali se șterg reciproc. Rezultatul este $5^{5} = 3125$ . Observă că valoarea aproximativă a lui $2$ nu îți trebuie în niciun moment al calculului, deci răspunsul rămâne exact.

Cât face 3 la puterea radical din 2, ridicat la puterea radical din 2?

La putere ridicată la putere exponenții se înmulțesc: $2 \cdot 2 = 2$ , deci obții $3^{2} = 9$ . Rezultatul este un număr întreg, deși ambii exponenți sunt iraționali, ceea ce arată că regulile funcționează neschimbat.

Ce sunt exponenții conjugați și la ce ajută?

Sunt doi exponenți a căror sumă iese un număr simplu, de obicei prin dispariția radicalilor, ca $3 + 1$ și $1 - 3$ . Când apar ca puteri ale aceleiași baze, produsul lor se calculează dintr-o singură adunare, fără nicio valoare aproximativă. Recunoașterea lor scurtează mult exercițiile de examen.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile puterilor cu exponent real · reguli de calcul cu puteri reale · exponenți conjugați · din a la x egal a la y rezultă x egal y · monotonia puterilor