Determină ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $$-1$$ și $$3$$ pentru $$f = X^4 - 6X^2 - 8X - 3$$.

$$-1$$ are ordinul $$3$$, iar $$3$$ are ordinul $$1$$

$$-1$$ are ordinul $$1$$, iar $$3$$ are ordinul $$3$$

$$-1$$ are ordinul $$2$$, iar $$3$$ are ordinul $$2$$

Ce înseamnă că o rădăcină este dublă?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Când o rădăcină se repetă

O rădăcină $a$ este dublă atunci când $(X - a)^{2}$ divide polinomul, dar $(X - a)^{3}$ nu îl mai divide; scris altfel, $f = (X - a)^{2} q$ cu $q (a) \neq = 0$ . La $f = X^{3} - 3 X + 2 = (X - 1)^{2} (X + 2)$ , numărul $1$ este rădăcină dublă, iar $- 2$ este simplă. Practic, aplici schema lui Horner de două ori cu aceeași valoare și obții două resturi nule, iar al treilea rest iese nenul.

Un polinom de gradul $n$ poate avea mai puțin de $n$ rădăcini distincte, dacă unele coincid. Rădăcina $a$ are ordinul de multiplicitate $m$ dacă $(X - a)^{m}$ divide $f$ , dar $(X - a)^{m + 1}$ nu — echivalent, $f = (X - a)^{m} q$ cu $q (a) \neq = 0$ . O rădăcină de ordin $1$ e simplă, de ordin $2$ e dublă, de ordin $3$ triplă.

Ordinul se determină aplicând schema lui Horner de mai multe ori la rând, cu aceeași valoare $a$ : ordinul este numărul de resturi nule consecutive, iar oprirea o confirmă primul rest nenul. Din descompunerea canonică rezultă regula de control: suma ordinelor tuturor rădăcinilor este egală cu gradul lui $f$ . O rădăcină dublă cere, la determinarea parametrilor, două condiții (două resturi nule); o rădăcină triplă, trei.

Pe graficul funcției polinomiale, distincția se vede direct: la o rădăcină de ordin par, graficul atinge axa $O x$ și se întoarce, fără să schimbe semnul; la ordin impar, graficul traversează axa. Fenomenul nu e nou — „soluția dublă" de la ecuația de gradul al doilea cu $Δ = 0$ este exact o rădăcină de ordinul $2$ .

De reținut

ordin $m$ : $(X - a)^{m} ∣ f$ , dar $(X - a)^{m + 1} ∤ f$
ordinul $=$ numărul resturilor nule consecutive
ordin par: graficul atinge axa; impar: o traversează

Greșeala tipică

Din $f (a) = 0$ se trage concluzia că rădăcina este dublă. Egalitatea aceasta dă doar ordinul cel puțin $1$ ; pentru ordinul $2$ trebuie să se anuleze și câtul primei împărțiri.

Exerciții din această mini-lecție

Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $3$ pentru $f = X^{3} - 4 X^{2} - 3 X + 18$ .
- a) $2$
- b) $1$
- c) $3$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Schema lui Horner cu $a = 3$ pe $1, - 4, - 3, 18$ dă câtul $X^{2} - X - 6$ și rest $0$ ; aplicată din nou pe $1, - 1, - 6$ dă câtul $X + 2$ și rest $0$ . Cum $grad f = 3$ și mai rămâne un factor $X + 2$ (rădăcina $- 2$ , simplă), ordinul lui $3$ este exact $2$ : $f = (X - 3)^{2} (X + 2)$ .
Determină ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $- 1$ și $3$ pentru $f = X^{4} - 6 X^{2} - 8 X - 3$ .
- a) $- 1$ are ordinul $1$ , iar $3$ are ordinul $3$
- b) $- 1$ are ordinul $3$ , iar $3$ are ordinul $1$
- c) ambele au ordinul $2$
- d) $- 1$ are ordinul $2$ , iar $3$ are ordinul $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 1$ are ordinul $3$ , iar $3$ are ordinul $1$

Schema lui Horner cu $a = - 1$ aplicată de trei ori dă resturile $0, 0, 0$ , iar a patra aplicare ar da rest nenul (câtul rămas, $X - 3$ , nu se anulează în $- 1$ ). Deci $f = (X + 1)^{3} (X - 3)$ : $- 1$ are ordinul $3$ , iar $3$ ordinul $1$ .
Determinați $a, b \in R$ astfel încât $x = - 3$ să fie rădăcină dublă pentru $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 18$ .
- a) $a = 4, b = 3$
- b) $a = - 4, b = 3$
- c) $a = 4, b = - 3$
- d) $a = - 4, b = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = 4, b = - 3$

Impunând cele două resturi nule ale schemei lui Horner cu $a_{0} = - 3$ se obține $a = 4$ , $b = - 3$ , adică $f = X^{3} + 4 X^{2} - 3 X - 18 = (X + 3)^{2} (X - 2)$ . Al treilea rest (aplicând Horner încă o dată) este $- 5 \neq = 0$ , deci ordinul este exact $2$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă rădăcină simplă a unui polinom?

Este rădăcina care apare o singură dată în descompunere, deci $X - a$ divide polinomul, dar $(X - a)^{2}$ nu. Ordinul ei de multiplicitate este $1$ . Pe graficul funcției polinomiale, într-o astfel de rădăcină curba trece dintr-o parte a axei în cealaltă.

Câte resturi nule caut la Horner pentru o rădăcină triplă?

Trei la rând, cu aceeași valoare, urmate obligatoriu de un al patrulea rest nenul. Fără ultima verificare nu poți spune că ordinul este exact $3$ : ar putea fi și mai mare. Împărțirea care dă rest nenul este cea care încheie raționamentul.

De ce nu ajunge $f (a) = 0$ pentru o rădăcină dublă?

Anularea valorii arată doar că ordinul este cel puțin $1$ . Pentru ordinul $2$ mai trebuie ca și câtul obținut după prima împărțire să se anuleze în acel număr. Sunt două condiții separate, iar problemele cu parametri cer de obicei exact acest sistem.

Ce legătură are $Δ = 0$ cu rădăcinile multiple?

Discriminantul nul la ecuația de gradul al doilea înseamnă că cele două soluții coincid, deci trinomul se scrie ca un pătrat, $a (X - x_{0})^{2}$ . Aceasta este chiar o rădăcină de ordinul $2$ , adică noțiunea de rădăcină multiplă generalizează situația cunoscută din gimnaziu.

Poate un polinom de gradul al treilea să aibă o rădăcină de ordinul $4$ ?

Nu, fiindcă gradul este chiar totalul ordinelor tuturor rădăcinilor, deci niciun ordin nu poate trece de $3$ . Dacă un calcul îți dă un ordin mai mare decât gradul, ai greșit undeva la împărțiri sau ai numărat un rest nul în plus.

Când se opresc împărțirile succesive cu $X - a$ ?

La primul rest nenul. Numărul de resturi nule obținute înainte de el este chiar ordinul de multiplicitate. Dacă te oprești mai devreme, ai doar o margine inferioară a ordinului, iar concluzia scrisă în lucrare nu este completă.

Oamenii mai întreabă și: rădăcină dublă · ordinul de multiplicitate al unei rădăcini · ce este o rădăcină multiplă · rădăcină de ordinul doi