Câte rădăcini de ordinul n are un număr?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rădăcinile de ordinul n

Sunt exact $n$ , oricare ar fi numărul, cu singura condiție ca el să nu fie zero. Ele se scriu $w_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n})$ , pentru $k$ de la $0$ la $n - 1$ , unde $r$ și $φ$ sunt modulul și argumentul numărului dat. Toate au același modul, iar argumentele lor cresc din $\frac{2 π}{n}$ în $\frac{2 π}{n}$ , așa că imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi.

Un număr complex $w$ este rădăcină de ordinul $n$ a lui $z$ dacă $w^{n} = z$ . Nu se folosește notația $n z$ , pentru că orice $z \neq = 0$ are exact $n$ astfel de numere, niciunul „mai natural” decât celelalte. Pentru $z = r (cos φ + i sin φ)$ , ele sunt

$w_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1.$

Toate au același modul $n r$ (radicalul real, obișnuit, dintr-un număr pozitiv), iar argumentele cresc din $\frac{2 π}{n}$ în $\frac{2 π}{n}$ . Geometric, imaginile sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de rază $n r$ ; pentru $n = 2$ figura degenerează în două puncte opuse.

O consecință elegantă: suma celor $n$ rădăcini este $0$ , pentru orice $n \geq 2$ — centrul de greutate al poligonului regulat coincide cu centrul cercului.

Verificarea este obligatorie: ridici fiecare rădăcină la puterea $n$ (cu Moivre) și trebuie să obții exact $z$ .

Algoritmul are patru pași: scrii $z$ trigonometric, extragi modulul comun $n r$ , calculezi primul argument $\frac{φ}{n}$ și adaugi, din $n - 1$ ori, rația $\frac{2 π}{n}$ , apoi verifici. Nu se ia niciodată $k = n$ — acesta ar reproduce exact prima rădăcină, pentru că argumentul crește atunci cu un multiplu întreg de $2 π$ .

De reținut

$w_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n})$ , $k = 0, \dots, n - 1$
toate au modulul $n r$
suma lor este $0$ , pentru $n \geq 2$

Greșeala tipică

Se continuă lista dincolo de $k = n - 1$ , sperând la rădăcini noi. Valorile următoare repetă exact aceleași numere, fiindcă argumentul crește atunci cu o rotație completă.

Exerciții din această mini-lecție

Câte rădăcini de ordinul $5$ are numărul $32$ în $C$ ?
- a) $5$
- b) $1$
- c) $2$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$ ; aici $n = 5$ .
Care este modulul comun al rădăcinilor de ordinul $3$ ale unui număr $z$ cu $∣ z ∣ = 125$ ?
- a) $125$
- b) $5$
- c) $25$
- d) $\approx 41, 67$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Modulul comun este $3125 = 5$ .
Rădăcinile de ordinul $4$ ale unui număr real pozitiv formează, în planul complex, vârfurile unui:
- a) hexagon regulat
- b) triunghi echilateral
- c) pătrat
- d) pentagon regulat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pătrat

Pentru $n = 4$ rădăcinile sunt vârfurile unui poligon regulat cu $4$ laturi, adică un pătrat, înscris în cercul de rază $4 r$ .

Întrebări conexe

De ce nu se folosește notația cu radical pentru rădăcinile unui număr complex?

Pentru că sunt $n$ valori deopotrivă îndreptățite, iar niciuna nu poate fi aleasă drept cea principală, cum se întâmplă la numerele pozitive. Un simbol cu radical ar sugera un singur rezultat, așa că se scrie lista completă a celor $n$ numere.

Câte rădăcini de ordinul 5 are numărul 32 în mulțimea numerelor complexe?

Are exact cinci, oricât de simplu ar arăta numărul dat. Una singură este reală, anume $2$ , iar celelalte patru sunt nereale și se așază, împreună cu ea, în vârfurile unui pentagon regulat înscris în cercul de rază $2$ .

Ce sunt rădăcinile de ordinul n ale unității?

Soluțiile ecuației $z^{n} = 1$ : toate au modulul $1$ și argumentele $\frac{2 k π}{n}$ , cu $k$ de la $0$ la $n - 1$ . Pe cerc ele stau la distanțe egale, pornind din punctul $1$ . Înmulțind o rădăcină oarecare a unui număr cu ele, le obții pe toate celelalte.

Ce unghi separă două rădăcini vecine de ordinul n?

Unghiul $\frac{2 π}{n}$ , același între oricare două vecine, fiindcă argumentele cresc cu acest pas. Pentru $n = 3$ înseamnă $120$ de grade, iar pentru $n = 4$ un unghi drept. Din pasul constant rezultă că imaginile cad tocmai în vârfurile unui poligon regulat.

Cum aflu una singură dintre rădăcinile de ordinul n?

Iei $k = 0$ în formula generală: modulul este radicalul de ordinul $n$ din modulul numărului, iar argumentul este argumentul lui împărțit la $n$ . Rădăcina obținută astfel se numește principală, iar celelalte ies din ea prin rotații succesive cu același unghi.

Câte dintre rădăcinile de ordinul 6 ale numărului minus 729 sunt reale?

Argumentul numărului dat este $π$ , deci argumentele rădăcinilor sunt $\frac{π + 2 k π}{6}$ , adică $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{2}$ , $\frac{5 π}{6}$ , $\frac{7 π}{6}$ , $\frac{3 π}{2}$ și $\frac{11 π}{6}$ . Niciunul nu este multiplu de $π$ , deci nicio rădăcină nu este reală.

Oamenii mai întreabă și: rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex · formula rădăcinilor de ordinul n · câte rădăcini cubice are un număr · poligonul format de rădăcini · suma rădăcinilor de ordinul n