Ce sunt rădăcinile unității?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rădăcinile unității

Sunt numerele complexe a căror putere a $n$ -a dă $1$ . Se află pe cercul de rază $1$ și sunt tot atâtea câte arată ordinul: $ε_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n}$ , pentru $k$ de la $0$ la $n - 1$ . Notând cu $ε$ pe cel cu argumentul cel mai mic dintre cele nenule, toate celelalte sunt puterile lui. Imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat, cu un vârf în punctul de abscisă $1$ .

Mulțimea $U_{n} = {ε \in C ∣ ε^{n} = 1}$ are exact $n$ elemente, toate de modul $1$ : $ε_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n}$ , $k = 0, \dots, n - 1$ , cu $ε_{0} = 1$ mereu în mulțime. Notând $ε = ε_{1}$ , toate sunt puterile lui: $U_{n} = {1, ε, ε^{2}, \dots, ε^{n - 1}}$ , iar puterile lui $ε$ se repetă din $n$ în $n$ ( $ε^{m} = ε^{m mod n}$ ).

Suma elementelor lui $U_{n}$ este $0$ , pentru orice $n \geq 2$ (demonstrație: $εS = S$ dă $(ε - 1) S = 0$ , iar $ε \neq = 1$ ). Cazul $n = 3$ apare des: pentru $ε \in U_{3}$ , $ε \neq = 1$ , avem $ε^{3} = 1$ și $1 + ε + ε^{2} = 0$ , de unde $1 + ε = - ε^{2}$ .

Geometric, imaginile elementelor lui $U_{n}$ sunt vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate, cu un vârf întotdeauna în punctul de afix $1$ . Latura poligonului este $2 sin \frac{π}{n}$ : hexagonul are proprietatea specială că latura egalează raza.

Legătura cu rădăcinile oricărui alt număr: dacă $w_{0}^{n} = z$ , atunci toate rădăcinile lui $z$ sunt $w_{0} ε^{k}$ — găsești una singură și rotești restul.

Cazurile mici merită reținute: $U_{2} = {1, - 1}$ , $U_{3} = {1, - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i}$ , $U_{4} = {1, i, - 1, - i}$ — exact puterile lui $i$ — și $U_{6}$ , cu argumentele multipli de $\frac{π}{3}$ . Un exponent mare aplicat unui element din $U_{n}$ se reduce mereu modulo $n$ , exact ca la puterile lui $i$ .

De reținut

$U_{n} = {1, ε, ε^{2}, \dots, ε^{n - 1}}$ , cu $ε^{n} = 1$
suma elementelor lui $U_{n}$ este $0$ , pentru $n \geq 2$
pentru $ε \in U_{3}$ , $ε \neq = 1$ : $1 + ε + ε^{2} = 0$

Greșeala tipică

Se calculează o putere mare a lui $ε$ înmulțind pas cu pas. Exponentul se înlocuiește cu restul împărțirii lui la $n$ , fiindcă puterile se repetă din $n$ în $n$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele numere aparține mulțimii $U_{6}$ ?
- a) $- 1$
- b) $i$
- c) $2$
- d) $- i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 1$

$(- 1)^{6} = 1$ , deci $- 1 \in U_{6}$ . În schimb $i^{6} = i^{4} \cdot i^{2} = 1 \cdot (- 1) = - 1 \neq = 1$ , deci $i \in / U_{6}$ .
Fie $ε = i$ , element din $U_{4}$ . Calculați $ε^{2027}$ .
- a) $i$
- b) $- i$
- c) $1$
- d) $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- i$

Cum $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , avem $i^{2027} = i^{3} = - i$ .
Care este suma elementelor mulțimii $U_{7}$ ?
- a) $1$
- b) $7$
- c) $0$
- d) $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Suma tuturor rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este $0$ , pentru orice $n \geq 2$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că toate elementele mulțimii U de n sunt puteri ale aceluiași număr?

Înseamnă că, luând $ε$ cu argumentul $\frac{2 π}{n}$ , mulțimea se scrie ca lista puterilor lui, de la $ε^{0} = 1$ până la $ε^{n - 1}$ . Fiecare înmulțire cu $ε$ rotește punctul cu același unghi, iar după $n$ pași revii în punctul de plecare.

Ce legătură există între mulțimile U de 3 și U de 6?

Prima este cuprinsă în a doua: orice număr care ridicat la a treia dă $1$ va da $1$ și la a șasea. În general, $U_{d}$ intră în $U_{n}$ ori de câte ori $d$ este divizor al lui $n$ . De aceea $U_{6}$ conține și rădăcinile de ordinul doi, și pe cele de ordinul trei.

De ce se repetă puterile lui epsilon din n în n?

Pentru că $ε^{n} = 1$ , deci înmulțirea cu încă $n$ factori nu schimbă nimic. Practic, exponentul se înlocuiește cu restul împărțirii lui la $n$ . Așa se calculează rapid puteri uriașe, fără niciun calcul intermediar.

Cât face epsilon la puterea 2028, dacă epsilon este element al lui U de 3?

Împarți exponentul la $3$ și te uiți la rest: $2028 = 3 \cdot 676$ , deci restul este zero. Prin urmare $ε^{2028} = (ε^{3})^{676} = 1^{676} = 1$ . Rezultatul nu depinde de care element al mulțimii ai ales, fiindcă orice element ridicat la a treia dă $1$ .

Unde cade primul vârf al poligonului rădăcinilor unității?

Întotdeauna în punctul de afix $1$ , adică pe axa reală, la dreapta originii. Motivul este că numărul $1$ aparține oricărei mulțimi de rădăcini ale unității, oricare ar fi ordinul. Celelalte vârfuri urmează din el, rotite cu unghiuri egale.

Cât face 1 plus epsilon, la puterea a șasea, dacă epsilon este din U de 3 și diferit de 1?

Pornești de la relația $1 + ε + ε^{2} = 0$ , valabilă pentru orice element diferit de $1$ al mulțimii de ordinul trei. De aici $1 + ε = - ε^{2}$ . Ridicând la a șasea, semnul minus dispare, fiindcă exponentul este par, și rămâne $ε^{12} = (ε^{3})^{4} = 1$ .

Oamenii mai întreabă și: rădăcinile de ordinul n ale unității · mulțimea U de n · rădăcinile cubice ale unității · poligon regulat înscris în cercul unitate · suma rădăcinilor unității