Este $$3$$ rădăcină a polinomului $$f=X^3-5X^2+2X+12$$?

nu se poate ști fără descompunere

da, dar doar dacă este singura rădăcină reală

Ce este rădăcina unui polinom?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rădăcinile unui polinom

Un număr $a$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă valoarea lui în acel număr este zero, adică $f (a) = 0$ . Rădăcinile se caută printre numerele complexe, nu doar printre cele reale. Pentru $f = X^{2} - 5 X + 6$ , valorile $f (2) = 0$ și $f (3) = 0$ arată că $2$ și $3$ sunt rădăcini. Numărul rădăcinilor distincte nu poate depăși gradul, iar fiecare rădăcină găsită dă un factor de gradul întâi.

Un număr $a \in C$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă $f (a) = 0$ — aceleași numere sunt zerourile funcției polinomiale și soluțiile ecuației asociate. Verificarea este mereu un calcul direct: ori valoarea iese exact $0$ , ori nu; rădăcinile se caută în $C$ , nu doar în $R$ .

Trei teste rapide, citite direct din coeficienți: $0$ e rădăcină exact când termenul liber e $0$ ( $f (0) = a_{0}$ ); $1$ e rădăcină exact când suma coeficienților e $0$ ( $f (1)$ ); $- 1$ e rădăcină exact când suma alternată e $0$ ( $f (- 1)$ ).

Legătura cu factorizarea, sensul ușor: dacă $f = (X - a) \cdot g$ , atunci $a$ este rădăcină, pentru că $f (a) = (a - a) g (a) = 0$ . Reciproca (orice rădăcină dă un factor) cere teorema lui Bézout, studiată mai târziu.

Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $C$ ; polinomul nul face excepție, fiind anulat de orice număr. Cea mai frecventă formă de exercițiu la examen: din condiția $f (a) = 0$ pentru un $a$ dat se obține o ecuație (sau, cu doi parametri, un sistem) — se rezolvă și se verifică obligatoriu prin înlocuire.

De reținut

$a$ e rădăcină $⟺ f (a) = 0$
$f = (X - a) g$ dă rădăcina $a$
cel mult $n$ rădăcini distincte la gradul $n$

Greșeala tipică

Se afirmă că un polinom de gradul $n$ are exact $n$ rădăcini. Enunțul corect cere „cel mult $n$ rădăcini distincte”; egalitatea revine abia când rădăcinile sunt numărate cu multiplicități.

Exerciții din această mini-lecție

Este $3$ rădăcină a polinomului $f = X^{3} - 5 X^{2} + 2 X + 12$ ?
- a) da, pentru că $f (3) = 0$
- b) nu, pentru că $f (3) = 6$
- c) nu se poate ști fără descompunere
- d) da, dar doar dacă este singura rădăcină reală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) da, pentru că $f (3) = 0$

$f (3) = 27 - 45 + 6 + 12 = 0$ , deci $3$ este rădăcină.
Pentru $f = 2 X^{3} - X^{2} + 3 X - 4$ , care este $f (0)$ ?
- a) $0$
- b) $- 4$
- c) $4$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 4$

$f (0)$ este termenul liber, $- 4$ ; cum e nenul, $0$ nu este rădăcină a lui $f$ .
Câte rădăcini distincte poate avea, cel mult, un polinom nenul de gradul $5$ ?
- a) o infinitate
- b) $4$
- c) $5$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5$

Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $C$ ; aici $n = 5$ .

Întrebări conexe

Când este $0$ rădăcină a unui polinom?

Exact atunci când termenul liber este zero, pentru că valoarea în zero este chiar $a_{0}$ . La $f = X^{3} - 4 X^{2} + X$ termenul liber lipsește, deci $0$ este rădăcină, iar polinomul se scrie ca $X (X^{2} - 4 X + 1)$ , cu nedeterminata dată factor comun.

Când este $- 1$ rădăcină a unui polinom?

Atunci când suma alternată a coeficienților este zero, fiindcă tocmai această sumă este valoarea în $- 1$ . La $f = X^{3} + 2 X^{2} - X - 2$ obții $- 1 + 2 + 1 - 2 = 0$ , deci $- 1$ este rădăcină și $X + 1$ este factor al polinomului.

Cum determin un parametru știind că un număr este rădăcină?

Scrii condiția $f (a) = 0$ cu parametrul înăuntru și rezolvi ecuația obținută. Pentru $f = X^{2} + m X - 6$ cu rădăcina $2$ , condiția $4 + 2 m - 6 = 0$ dă $m = 1$ . La final înlocuiești valoarea găsită și verifici prin calcul că valoarea polinomului chiar se anulează.

Câte rădăcini are polinomul nul?

Orice număr complex îl anulează, deci are o infinitate de rădăcini. Tocmai de aceea polinomul nul este exclus din enunțul care spune că un polinom de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte: el nu are nici măcar grad.

Care este diferența dintre rădăcină și valoarea unui polinom?

Rădăcina este numărul pus în locul nedeterminatei, iar valoarea este rezultatul calculului. Formularea corectă sună astfel: $2$ este rădăcină pentru că valoarea polinomului în $2$ este zero. Confuzia apare când cineva spune că rădăcina este rezultatul, adică zero.

Ce fac dacă am doi parametri și o singură condiție de rădăcină?

O condiție dă o singură ecuație, deci parametrii rămân legați între ei, nu determinați. Ai nevoie de a doua informație din enunț: încă o rădăcină, o valoare cunoscută a polinomului sau o cerință de divizibilitate, care completează sistemul cu a doua ecuație.

Oamenii mai întreabă și: rădăcina unui polinom · ce este o rădăcină a unui polinom · cum verific dacă un număr e rădăcină · zerourile unui polinom