Se consideră propozițiile $$p$$: «$$2^4 = 16$$», $$q$$: «$$\sqrt{9} = -3$$» și $$r$$: «$$7$$ este număr prim». Care dintre următoarele enunțuri compuse este fals?

$$(p \vee q) \Rightarrow (q \wedge r)$$

Care este negația enunțului «Toți elevii clasei au obținut o notă mai mare decât $$6$$»?

«Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică sau egală cu $$6$$.»

«Niciun elev al clasei nu a obținut o notă mai mare decât $$6$$.»

«Toți elevii clasei au obținut o notă mai mică decât $$6$$.»

«Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică decât $$6$$.»

Ce trebuie știut la logică și progresii?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Logică și progresii: sinteza finală

Din logică: tabelele celor cinci operații, cu observația că implicația este falsă doar când pornești de la ceva adevărat și ajungi la ceva fals, plus regulile de negare, care schimbă și cuantificatorul, și predicatul. Din progresii: termenul general și suma primilor termeni, pentru amândouă tipurile. Întrebarea care alege modelul este dacă aduni mereu același număr sau înmulțești mereu cu același număr.

Primul an de liceu a început cu două teritorii care păreau străine unul de celălalt: logica matematică și progresiile. Podul dintre ele este noțiunea de șir, pentru că „progresie aritmetică" înseamnă „pentru orice $n$ , $a_{n + 1} - a_{n} = r$ " — un enunț cu cuantificator universal.

Din logică reții tabla celor cinci operații, memorată prin excepții: conjuncția este adevărată doar când ambele propoziții sunt adevărate, disjuncția este falsă doar când ambele sunt false, iar implicația este falsă într-un singur caz, ipoteză adevărată și concluzie falsă. A doua deprindere este negarea: legile lui De Morgan schimbă operatorul, $\neg (p \Rightarrow q) \equiv p \land \neg q$ , iar la cuantificatori se schimbă și cuantificatorul, și predicatul ( $\forall \leftrightarrow \exists$ , iar $>$ devine $\leq$ ). Un enunț universal se doboară cu un singur contraexemplu — exact ce faci, prin modus tollens, când testul diferențelor arată că un șir nu este progresie.

Progresiile aduc patru formule: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ , $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ . Reflexele care aduc puncte: numărul de pași este cu unu mai mic decât rangul, iar exponentul din sumă este cu unu mai mare decât cel din termenul general. La problemele practice întrebi doar atât: adun mereu același număr (aritmetică) sau înmulțesc mereu cu același număr (geometrică)? Procentele se traduc în factori și se compun înmulțind, niciodată adunând.

De reținut

implicația este falsă doar cu ipoteză adevărată și concluzie falsă
negarea schimbă cuantificatorul și predicatul
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$
$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$

Greșeala tipică

Se pune același exponent la termenul general și la sumă; primul cere rangul micșorat cu o unitate, în timp ce al doilea cere chiar rangul.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră propozițiile $p$ : « $2^{4} = 16$ », $q$ : « $9 = - 3$ » și $r$ : « $7$ este număr prim». Care dintre următoarele enunțuri compuse este fals?
- a) $p \lor q$
- b) $(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)$
- c) $q \Rightarrow r$
- d) $\neg q \land r$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(p \lor q) \Rightarrow (q \land r)$

Stabilim întâi valorile propozițiilor simple: $v (p) = A$ (căci $2^{4} = 16$ ), $v (q) = F$ (radicalul de ordinul al doilea este nenegativ, deci $9 = 3$ ), $v (r) = A$ . Atunci $p \lor q = A \lor F = A$ , iar $q \land r = F \land A = F$ , deci $(p \lor q) \Rightarrow (q \land r) = A \Rightarrow F = F$ — singurul caz în care implicația este falsă. Celelalte sunt adevărate: $q \Rightarrow r = F \Rightarrow A = A$ (implicație adevărată „în gol"), iar $\neg q \land r = A \land A = A$ .
Care este negația enunțului «Toți elevii clasei au obținut o notă mai mare decât $6$ »?
- a) «Niciun elev al clasei nu a obținut o notă mai mare decât $6$ .»
- b) «Toți elevii clasei au obținut o notă mai mică decât $6$ .»
- c) «Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică sau egală cu $6$ .»
- d) «Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică decât $6$ .»
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) «Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică sau egală cu $6$ .»

Enunțul are forma $\forall x, P (x)$ , iar negația lui este $\exists x, \neg P (x)$ : se schimbă și cuantificatorul, și predicatul. Negația lui „nota $> 6$ " este „nota $\leq 6$ ", nu „nota $< 6$ " — egalitatea face parte din negație, de aceea varianta d) este greșită. Varianta a) («niciunul») este negația enunțului „există un elev cu nota mai mare decât $6$ ", iar b) păstrează greșit cuantificatorul universal: negația lui „toți sunt" este „cel puțin unul nu este".
Într-o progresie geometrică se știe că $b_{1} = 3$ și $q = 2$ . Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $b_{5} = 48$ și $S_{5} = 93$
- b) $b_{5} = 96$ și $S_{5} = 93$
- c) $b_{5} = 48$ și $S_{5} = 45$
- d) $b_{5} = 96$ și $S_{5} = 189$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $b_{5} = 48$ și $S_{5} = 93$

Termenul general are exponentul $n - 1$ : $b_{5} = b_{1} q^{4} = 3 \cdot 16 = 48$ . Suma are exponentul $n$ : $S_{5} = b_{1} \cdot \frac{q ^{5} - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 93$ . Verificare directă: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ . ✓ Varianta b) folosește greșit $q^{5}$ la termenul general, iar d) folosește $q^{6}$ la sumă — exact confuzia de exponenți care se plătește cel mai des la teză.

Întrebări conexe

Ce formule de progresie geometrică trebuie știute pe de rost?

Termenul general, în care rația apare la puterea cu unu mai mică decât rangul, și suma primilor termeni, unde exponentul este chiar rangul. Pentru primul termen $3$ și rația $2$ , al cincilea termen este $48$ , iar suma primilor cinci este $93$ .

Cum verific rapid dacă un șir este progresie aritmetică?

Scazi fiecare termen din următorul: dacă toate diferențele ies egale, ai o progresie aritmetică. O singură diferență care nu se potrivește doboară afirmația, fiindcă enunțul cere ca proprietatea să aibă loc pentru orice rang.

Ce este tabelul de adevăr și când îl folosesc?

Este un tabel care trece toate combinațiile de valori pentru propozițiile simple și calculează valoarea enunțului compus. Îl folosești când vrei să arăți că două enunțuri sunt echivalente sau că unul este adevărat oricum. Pentru două propoziții are patru rânduri.

Cum neg un enunț care începe cu există?

Îl transformi într-un enunț despre toate elementele și negi ce se afirmă despre ele. Din propoziția că există un număr cu o proprietate obții că niciun număr nu o are, adică toate au proprietatea contrară. Se schimbă și cuantificatorul, și partea de după el.

Cum aflu rația unei progresii din doi termeni dați?

La cea aritmetică, scazi termenii și împarți la diferența rangurilor. La cea geometrică, împarți termenii și extragi radicalul de ordinul egal cu diferența rangurilor. Verifici la final refăcând drumul de la un termen la celălalt.

Oamenii mai întreabă și: recapitulare la logică și progresii · ce se cere la logică matematică · formulele progresiilor aritmetice și geometrice · cum recapitulez logica și progresiile