Vrei să demonstrezi prin reducere la absurd afirmația: «dacă $$ab = 0$$, atunci $$a = 0$$ sau $$b = 0$$». Cu ce presupunere pornești?

$$ab = 0$$, $$a \ne 0$$ și $$b \ne 0$$

$$ab = 0$$, $$a \ne 0$$ sau $$b \ne 0$$

$$ab \ne 0$$, $$a = 0$$ și $$b = 0$$

$$ab \ne 0$$, $$a \ne 0$$ și $$b \ne 0$$

Pentru care dintre perechile (domeniu, codomeniu) funcția dată de legea $$f(x) = x^2$$ este bijectivă?

$$f : [0, \infty) \to [0, \infty)$$

$$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$

$$f : \mathbb{R} \to [0, \infty)$$

$$f : [0, \infty) \to \mathbb{R}$$

Ce se cere în plus la profilul mate-info?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sinteză mate-info: demonstrații, funcții, ecuații

Metodele de demonstrație, adică inducția, cu pasul de verificare și cel de trecere, și reducerea la absurd. Apoi drumul dintre o recurență și formula termenului general, fișa completă a unei funcții, cu injectivitate și inversă, și discuția după parametru la ecuații. Ordinea corectă la o problemă cu parametru aduce singură puncte.

Anul de matematică-informatică se așază pe patru etaje. La bază stau metodele de demonstrație: inducția, cu cele două etape obligatorii — verificarea lui $P (n_{0})$ și pasul $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ — și reducerea la absurd, cerută de enunțuri de tip «nu există», «este irațional». Atenție la negație: negația lui « $a = 0$ sau $b = 0$ » este « $a \neq = 0$ și $b \neq = 0$ ».

Urmează șirurile. De la o relație de recurență la formula termenului general drumul are trei pași: calculezi primii $4$ – $5$ termeni, conjecturezi, demonstrezi prin inducție. Caracterizările cu trei termeni consecutivi sunt $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ (progresie aritmetică) și $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ (progresie geometrică).

La etajul funcțiilor, fișa completă are o ordine fixă: domeniu maxim, paritate, monotonie, imagine, injectivitate, surjectivitate, inversă. Capcana de aur a anului: o funcție este tripletul (domeniu, codomeniu, lege) — $f (x) = x^{2}$ nu este injectivă pe $R \to R$ , dar este bijectivă pe $[0, \infty) \to [0, \infty)$ .

Sus stau ecuațiile. Relațiile lui Viète, $S = - \frac{b}{a}$ și $P = \frac{c}{a}$ , dau expresiile simetrice fără a rezolva ecuația: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ , $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S$ . La problemele cu parametru, ordinea aduce puncte: întâi $Δ \geq 0$ , apoi cerința tradusă prin $S$ și $P$ , la final intersecția mulțimilor. Sistemele simetrice se rezolvă cu $s$ , $p$ și $z^{2} - sz + p = 0$ , iar la radicali lanțul nu se rupe: $A = B ⟺ B \geq 0$ și $A = B^{2}$ .

De reținut

inducția are două etape obligatorii: verificarea și pasul
o funcție este tripletul domeniu, codomeniu, lege
la parametru: întâi $Δ \geq 0$ , apoi cerința prin $S$ și $P$
$A = B ⟺ B \geq 0$ și $A = B^{2}$

Greșeala tipică

Se sare peste verificarea pentru primul rang la inducție, deși fără ea raționamentul nu are de unde porni; ambele etape se scriu, oricât de simplă ar părea prima.

Exerciții din această mini-lecție

Vrei să demonstrezi prin reducere la absurd afirmația: «dacă $ab = 0$ , atunci $a = 0$ sau $b = 0$ ». Cu ce presupunere pornești?
- a) $ab = 0$ , $a \neq = 0$ și $b \neq = 0$
- b) $ab = 0$ , $a \neq = 0$ sau $b \neq = 0$
- c) $ab \neq = 0$ , $a = 0$ și $b = 0$
- d) $ab \neq = 0$ , $a \neq = 0$ și $b \neq = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $ab = 0$ , $a \neq = 0$ și $b \neq = 0$

La reducerea la absurd se păstrează ipoteza ( $ab = 0$ ) și se neagă concluzia. Negația unui enunț cu «sau» este un enunț cu «și»: negația lui « $a = 0$ sau $b = 0$ » este « $a \neq = 0$ și $b \neq = 0$ ». Varianta b) neagă greșit, păstrând «sau», iar c) și d) neagă ipoteza, ceea ce schimbă cu totul afirmația. Din presupunerea corectă: cum $a \neq = 0$ , împărțim $ab = 0$ prin $a$ și obținem $b = 0$ — contradicție cu $b \neq = 0$ , deci afirmația inițială este adevărată.
Pentru care dintre perechile (domeniu, codomeniu) funcția dată de legea $f (x) = x^{2}$ este bijectivă?
- a) $f : R \to R$
- b) $f : R \to [0, \infty)$
- c) $f : [0, \infty) \to R$
- d) $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$

O funcție este tripletul (domeniu, codomeniu, lege), deci aceeași formulă dă răspunsuri diferite. Pe $R \to R$ nu este nici injectivă ( $f (- 1) = f (1) = 1$ ), nici surjectivă ( $Im f = [0, \infty) \neq = R$ ). Pe $R \to [0, \infty)$ devine surjectivă, dar tot nu este injectivă. Pe $[0, \infty) \to R$ este injectivă (strict crescătoare), dar nu surjectivă, pentru că valorile negative nu se ating. Doar pe $[0, \infty) \to [0, \infty)$ este bijectivă, cu inversa $f^{- 1} (y) = y$ .
Rezolvați în $R$ sistemul ${x + y = 5 x^{2} + y^{2} = 13$ .
- a) ${(1, 4), (4, 1)}$
- b) ${(2, 3), (3, 2)}$
- c) ${(- 2, 7), (7, - 2)}$
- d) sistemul nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${(2, 3), (3, 2)}$

Sistemul este simetric: notăm $s = x + y = 5$ și $p = x y$ . Din $x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p$ obținem $25 - 2 p = 13$ , deci $p = 6$ . Revenirea se face prin $z^{2} - 5 z + 6 = 0$ , iar condiția $s^{2} - 4 p = 1 \geq 0$ este îndeplinită, deci $z \in {2, 3}$ : soluțiile sunt $(2, 3)$ și $(3, 2)$ . Distractorii au tot suma $5$ , dar dau $1 + 16 = 17$ , respectiv $4 + 49 = 53$ — un control care se face în două secunde.

Întrebări conexe

Cum se scrie corect o demonstrație prin inducție?

Verifici afirmația pentru primul rang, presupui că este adevărată pentru un rang oarecare, apoi arăți că se transmite la următorul. Ambele etape sunt obligatorii: fără prima, lanțul nu pornește, iar fără a doua, nu se propagă.

Ce înseamnă discuție după parametru la o ecuație?

Înseamnă că răspunsul depinde de valoarea unei litere din enunț, deci scrii pe cazuri ce se întâmplă. La gradul al doilea, ordinea este întâi condiția asupra discriminantului, apoi cerința tradusă prin sumă și produs, iar la final intersecția mulțimilor găsite.

Cum demonstrez o inegalitate prin metoda diferenței?

Muți totul într-o parte și arăți că expresia rămasă păstrează semnul cerut, de obicei scriind-o ca sumă de pătrate sau ca produs de factori cu semn cunoscut. Egalitatea se studiază separat, ca să spui când se atinge.

Ce probleme cu funcții sunt mai grele la mate-info?

Cele care cer fișa completă: domeniu maxim, paritate, sens de variație, imagine, injectivitate, surjectivitate și inversă, într-o ordine fixă. Se adaugă compunerile și restrângerile de domeniu, unde aceeași formulă poate da funcții cu proprietăți diferite.

Cum îmi organizez recapitularea pe capitole?

Faci o listă cu capitolele și, pentru fiecare, notezi formulele și tipul de problemă care se dă. Rezolvi câte un exercițiu reprezentativ, marchezi ce nu iese și revii doar acolo. Recapitularea pe teme merge mai bine decât cea pe pagini de manual.

Oamenii mai întreabă și: ce se cere la mate-info în plus · recapitulare mate-info la algebră și funcții · inducție și reducere la absurd · programa de mate-info la algebră