De ce se scrie modul la logₐ x²?

Pentru că x² este pozitiv și când x este negativ, deci egalitatea corectă este logₐ x²=2logₐ|x|. Fără modul, ecuația log₃ x²=4 ar pierde soluția x=-9, deși ea verifică enunțul inițial.

Ce condiții de existență se scriu la logaritmi?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Exponențiale, logaritmi și numere complexe: sinteza

Înainte de orice calcul ceri ca argumentul logaritmului să fie strict pozitiv, iar baza să fie pozitivă și diferită de $1$ . Pentru $lo g_{2} (x - 3)$ scrii $x > 3$ ; pentru $lo g_{a} (x)$ cu bază necunoscută adaugi $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Rezolvi ecuația fără să uiți condițiile, iar la final respingi motivat soluțiile care nu le respectă. Baremul acordă puncte separat pentru scrierea condițiilor și pentru respingerea explicită.

Puterile cu exponent real păstrează toate regulile cunoscute pentru baze strict pozitive, iar exponențiala $a^{x}$ ia doar valori strict pozitive — de aceea orice substituție $t = a^{x}$ cere condiția $t > 0$ . Logaritmul este inversul exponențialei, $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ , cu proprietățile produsului, câtului și puterii; suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată. La ecuații și inecuații, baza decide sensul: pentru $a > 1$ inegalitățile se păstrează, pentru $0 < a < 1$ se răstoarnă, iar la orice logaritm condițiile de existență se scriu întâi, cu respingerea motivată a soluțiilor care nu le respectă.

Numerele complexe se scriu $z = a + bi$ (formă algebrică, cu $i^{2} = - 1$ ) sau $z = r (cos φ + i sin φ)$ (formă trigonometrică, cu $r = ∣ z ∣$ și $φ \in [0, 2 π)$ ). Modulul și conjugatul controlează împărțirea: $\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}}$ . Forma trigonometrică transformă puterile în înmulțiri de unghiuri prin formula lui Moivre, $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ , cu argumentul redus mereu la $[0, 2 π)$ , iar rădăcinile de ordinul $n$ sunt $n$ numere de același modul, așezate în vârfurile unui poligon regulat. Diferența $z_{B} - z_{A}$ codează atât distanța $A B$ , cât și direcția, folosindu-se la mijloc, centru de greutate, coliniaritate și perpendicularitate.

De reținut

argument strict pozitiv, bază pozitivă și diferită de $1$
$lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$
bază subunitară: inegalitatea își schimbă sensul

Greșeala tipică

Condițiile de existență sunt scrise la sfârșit sau deloc, iar soluțiile străine rămân în răspuns. Ele se scriu înaintea rezolvării, iar respingerea fiecărei valori nepotrivite se motivează în lucrare.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $R$ ecuația $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ .
- a) $x \in {1, 3}$
- b) $x \in {0, 1}$
- c) $x \in {- 1, 1}$
- d) $x \in {0, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x \in {0, 1}$

Notăm $t = 3^{x}$ , cu $t > 0$ . Ecuația devine $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , cu soluțiile $t = 1$ și $t = 3$ , ambele strict pozitive. Revenim: $3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ și $3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$ . Varianta a) confundă valorile lui $t$ cu cele ale lui $x$ , uitând să revină la exponent.
Rezolvați în $R$ ecuația $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ .
- a) $x = - 2$
- b) $x = 8$
- c) $x = 2$
- d) $x = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x = 4$

Condiții de existență: $x > 0$ și $x - 2 > 0$ , deci $x > 2$ . Restrângem: $lo g_{2} [x (x - 2)] = 3$ , adică $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ , cu soluțiile $x = 4$ și $x = - 2$ . Valoarea $x = - 2$ (varianta a) nu respectă $x > 2$ și se respinge motivat. Rămâne $x = 4$ . Verificare: $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 2 = 2 + 1 = 3$ ✓.
Se consideră $z_{1} = 2 + 3 i$ și $z_{2} = 1 - 2 i$ . Calculați $z_{1} \cdot z_{2}$ .
- a) $8 + i$
- b) $2 - 6 i$
- c) $8 - i$
- d) $- 4 + 7 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8 - i$

$z_{1} z_{2} = (2 + 3 i) (1 - 2 i) = 2 - 4 i + 3 i - 6 i^{2} = 2 - 4 i + 3 i + 6 = 8 - i$ . Varianta b) uită complet termenii încrucișați $- 4 i + 3 i$ , iar varianta a) greșește semnul părții imaginare.

Întrebări conexe

De ce se pune condiția ca substituția $t = a^{x}$ să fie pozitivă?

Fiindcă o putere cu bază strict pozitivă nu poate da niciodată un rezultat negativ sau nul. Dacă ecuația în $t$ are rădăcinile $2$ și $- 1$ , a doua nu duce la niciun $x$ real, iar respingerea ei se scrie explicit în lucrare.

De ce nu se desface logaritmul unei sume?

Pentru că regulile logaritmilor privesc produsul, câtul și puterea, nu adunarea. Scrierea $lo g_{a} (x + y)$ nu se poate rupe în doi termeni; dacă ai nevoie, dai factor comun în interior și abia apoi aplici regula produsului.

Ce formulă leagă inversul unui număr complex de conjugatul lui?

Relația este $\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}}$ , obținută amplificând fracția cu conjugatul numitorului. Ea explică de ce împărțirea numerelor complexe se face amplificând cu conjugatul: numitorul devine un număr real, adică pătratul modulului.

Ce interval se folosește pentru argumentul unui număr complex?

Se ia argumentul redus, din intervalul $[0, 2 π)$ , ca fiecare număr complex nenul să aibă o singură scriere trigonometrică. După o ridicare la putere cu formula lui Moivre, unghiul obținut trebuie readus în acest interval scăzând multipli de $2 π$ .

De ce se scrie modul la $lo g_{a} x^{2}$ ?

Pentru că $x^{2}$ este pozitiv și când $x$ este negativ, deci egalitatea corectă este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ . Fără modul, ecuația $lo g_{3} x^{2} = 4$ ar pierde soluția $x = - 9$ , deși ea verifică enunțul inițial.

Ce informații codează diferența a două afixe?

Codează deodată distanța și direcția dintre cele două puncte: modulul ei dă lungimea segmentului, iar argumentul dă unghiul făcut cu axa reală. De aici ies criteriile de coliniaritate și de perpendicularitate, precum și formulele pentru mijloc și centru de greutate.

Oamenii mai întreabă și: condiții de existență la logaritmi · ce condiții pun la o ecuație logaritmică · domeniul unui logaritm · soluții străine la logaritmi