Ecuația $$x^4-5x^2+4=0$$ are, în $$\mathbb{R}$$:

$$4$$ soluții, dintre care $$2$$ sunt complexe

Când folosesc Horner și când împărțirea lungă?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Polinoame și ecuații algebrice: sinteza

Schema lui Horner merge numai la împărțitori de forma $X - a$ , adică de gradul întâi și monici; pentru orice alt împărțitor folosești algoritmul clasic. La $2 X - 1$ rescrii întâi împărțitorul ca $X - \frac{1}{2}$ și ții cont de factorul $2$ la cât. Horner e de preferat ori de câte ori se poate, fiindcă dă deodată câtul și restul, fără scăderi de monoame, deci fără greșeli de semn.

Toate instrumentele capitolului slujesc unei singure idei: rădăcina înseamnă factor. Teorema lui Bézout, $(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$ , se aplică prin schema lui Horner, care dă într-un singur rând câtul și restul unei împărțiri la $X - a$ ; teorema restului spune că restul la $X - a$ este chiar $f (a)$ . Ordinul de multiplicitate al unei rădăcini se citește din resturile nule consecutive obținute prin Horner, iar suma tuturor ordinelor este mereu egală cu gradul polinomului.

Relațiile lui Viète, $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ , dau informații despre rădăcini fără să le calculezi — de exemplu $\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ . Peste $C$ polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi; peste $R$ , li se adaugă cele de gradul al doilea cu $Δ < 0$ , iar puntea dintre cele două este teorema rădăcinilor conjugate: dacă $f$ are coeficienți reali și $z$ e rădăcină, atunci și $\overset{z}{ˉ}$ este rădăcină, iar perechea dă factorul real $X^{2} - 2 a X + (a^{2} + b^{2})$ .

Pentru ecuațiile algebrice, alegerea metodei depinde de indiciile din enunț: coeficienți întregi $\to$ divizorii termenului liber; doar puteri pare $\to$ substituția $x^{2} = y$ , cu întoarcere completă în $C$ .

De reținut

Horner: doar la $X - a$
ordinul de multiplicitate: resturi nule consecutive
$S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$

Greșeala tipică

Schema lui Horner este aplicată la un împărțitor de gradul al doilea. Ea funcționează numai pentru binoame de gradul întâi, monice; pentru grade mai mari se folosește algoritmul clasic al împărțirii.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 2 X^{2} + X + 4$ la $X + 1$ .
- a) $4$
- b) $0$
- c) $2$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$

Prin teorema restului, restul la $X - (- 1)$ este $f (- 1) = (- 1)^{3} - 2 (- 1)^{2} + (- 1) + 4 = - 1 - 2 - 1 + 4 = 0$ . Restul fiind $0$ , prin teorema lui Bézout rezultă că $X + 1$ divide polinomul $f$ . Varianta a) este $f (0)$ , calculată greșit în locul lui $f (- 1)$ .
Fie $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ rădăcinile ecuației $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ .
- a) $36$
- b) $22$
- c) $25$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $14$

Din Viète: $S_{1} = 6$ , $S_{2} = 11$ . Atunci $\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 36 - 22 = 14$ . Control: rădăcinile sunt $1, 2, 3$ , iar $1 + 4 + 9 = 14$ ✓. Varianta a) este $S_{1}^{2}$ neconvertit, iar varianta b) este $2 S_{2}$ .
Ecuația $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ are, în $R$ :
- a) $2$ soluții reale
- b) $0$ soluții reale
- c) $4$ soluții reale distincte
- d) $4$ soluții, dintre care $2$ sunt complexe
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$ soluții reale distincte

Cu $y = x^{2}$ : $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ , cu soluțiile $y = 1$ și $y = 4$ , ambele strict pozitive. Fiecare dă două valori reale ale lui $x$ : $y = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ , $y = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Ecuația are deci $4$ soluții reale distincte. Dacă vreo valoare a lui $y$ ar fi ieșit negativă, acele soluții ar fi fost pur imaginare, nu s-ar fi respins.

Întrebări conexe

Ce idee unește toate instrumentele capitolului de polinoame?

Faptul că o rădăcină înseamnă un factor. Teorema restului dă valoarea, teorema lui Bézout o traduce în divizibilitate, schema lui Horner scoate factorul, iar teorema fundamentală a algebrei spune că procedeul se poate repeta până la capăt.

Ce fac cu împărțitorul $2 X - 1$ la schema lui Horner?

Îl scrii ca $2 (X - \frac{1}{2})$ , aplici schema cu valoarea $\frac{1}{2}$ și obții restul direct. Câtul citit din tabel trebuie apoi împărțit la $2$ , fiindcă schema a lucrat cu forma monică, nu cu împărțitorul din enunț.

Ce indicii din enunț arată metoda de rezolvare a unei ecuații algebrice?

Coeficienți întregi trimit la divizorii termenului liber; numai puteri pare trimit la substituția pătratului; coeficienți citiți la fel de la ambele capete trimit la ecuații reciproce; o rădăcină complexă dată trimite la conjugata ei și la un factor de gradul al doilea.

Cum se scrie suma pătratelor rădăcinilor cu relațiile lui Viète?

Se folosește $\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ , obținută din dezvoltarea pătratului sumei. Pentru $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ ies $S_{1} = 6$ și $S_{2} = 11$ , deci suma pătratelor este $36 - 22 = 14$ , ceea ce se potrivește cu rădăcinile $1$ , $2$ și $3$ .

Câte numere are rândul de sus la Horner pentru un polinom de gradul al patrulea?

Cinci, adică gradul plus unu. Din $2 X^{4} - 3 X^{3} + X - 5$ scrii $2$ , $- 3$ , $0$ , $1$ , $- 5$ , cu zero pe locul termenului în $X^{2}$ . Numărătoarea aceasta se face înainte de orice înmulțire.

De ce se completează cu zero termenii lipsă înainte de Horner?

Pentru că fiecare coloană a tabelului corespunde unui rang anume. O coloană sărită mută toate celelalte numere cu o poziție, iar tabelul ajunge să calculeze pentru un cu totul alt polinom, fără să dea vreun semnal de eroare.

Oamenii mai întreabă și: Horner sau împărțirea clasică · când folosesc schema lui Horner · recapitulare polinoame · metode de împărțire a polinoamelor