Dintr-un grup de $$12$$ elevi se aleg $$3$$ pentru a forma o echipă la un concurs, fără roluri diferite între ei. Ce metodă de numărare se folosește și de ce?

combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $$3$$ elevi aleși nu modifică echipa

aranjamente, pentru că ordinea alegerii contează

permutări, pentru că se folosesc toți cei $$12$$ elevi

regula produsului, pentru că elevii se pot repeta

Cum trec de la numărare la probabilitate?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Numărare și probabilități: sinteza capitolului

Orice probabilitate clasică se scrie ca o fracție, iar cele două etaje ale ei se numără cu aceleași unelte: regula produsului, permutări, aranjamente sau combinări. Numeri întâi toate rezultatele posibile, apoi doar pe cele care îndeplinesc condiția, folosind același model la amândouă. Dacă ai numărat posibilele cu $C_{20}^{2}$ , favorabilele se numără tot cu combinări. La final împarți și verifici că valoarea rămâne între $0$ și $1$ .

Metodele de numărare și probabilitățile sunt, de fapt, un singur capitol: orice probabilitate este o fracție ale cărei două etaje se numără cu aceleași patru instrumente. Trei întrebări aleg metoda: se repetă elementele? contează ordinea? iei toate elementele sau doar o parte? Răspunsurile duc la $n^{k}$ (regula produsului), $P_{n} = n!$ (permutări), $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ (aranjamente) sau $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ (combinări), legate prin $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ . Testul schimbului decide rapid între aranjamente și combinări: dacă schimbarea a două elemente alese schimbă situația, ordinea contează. Combinările au proprietăți utile — $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , recurența lui Pascal, suma $2^{n}$ — iar binomul lui Newton, $(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu termenul general $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , reutilizează exact acești coeficienți.

Probabilitatea clasică, $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ , cere ca cele două etaje să fie numărate în același model. Din ea decurg evenimentul contrar $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ , reuniunea $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ , condiționarea $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ și independența, $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ — care nu trebuie confundată cu evenimentele disjuncte (două evenimente disjuncte, cu probabilități nenule, sunt de fapt cele mai dependente cu putință). Prima întrebare la orice problemă cu urne este dacă extragerea e cu revenire, fără revenire sau simultană — răspunsul decide toată numărarea de mai departe, la fel cum alegerea combinărilor sau a aranjamentelor decide un exercițiu de numărare.

De reținut

$A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$
testul schimbului decide ordinea
numeri la fel favorabilele și posibilele

Greșeala tipică

Cuvintele din enunț sunt citite superficial: „echipă” și „comisie” cer combinări, iar „podium” și „ordine de intrare” cer aranjamente. Testul schimbului lămurește imediat care dintre ele se potrivește.

Exerciții din această mini-lecție

Dintr-un grup de $12$ elevi se aleg $3$ pentru a forma o echipă la un concurs, fără roluri diferite între ei. Ce metodă de numărare se folosește și de ce?
- a) aranjamente, pentru că ordinea alegerii contează
- b) permutări, pentru că se folosesc toți cei $12$ elevi
- c) combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $3$ elevi aleși nu modifică echipa
- d) regula produsului, pentru că elevii se pot repeta
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $3$ elevi aleși nu modifică echipa

Testul schimbului decide: dacă schimbi între ei doi dintre cei trei elevi aleși, echipa rămâne aceeași — deci ordinea nu contează și se folosesc combinări. Varianta a) s-ar aplica dacă locurile ar fi diferite (de exemplu un podium), varianta b) dacă s-ar ordona toți cei $12$ elevi, iar varianta d) dacă elementele s-ar putea repeta, ceea ce nu e cazul la alegerea unor persoane distincte.
Un grup de $9$ elevi trebuie să aleagă o comisie de $3$ elevi, fără roluri distincte. Câte comisii diferite se pot forma?
- a) $504$
- b) $84$
- c) $729$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $84$

Ordinea nu contează, deci numărăm cu combinări: $C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84$ . Varianta a) este $A_{9}^{3} = 504$ (numărare cu ordine, greșită aici), varianta c) este $9^{3}$ (ca și cum elevii s-ar repeta), iar varianta d) este $P_{3} = 3! = 6$ , numărul de ordonări posibile ale unei comisii deja alese.
Determinați termenul care îl conține pe $x^{3}$ în dezvoltarea $(x + 3)^{5}$ .
- a) $30 x^{3}$
- b) $270 x^{3}$
- c) $90 x^{3}$
- d) $15 x^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $90 x^{3}$

Termenul general este $T_{k + 1} = C_{5}^{k} x^{5 - k} 3^{k}$ . Condiția $5 - k = 3$ dă $k = 2$ , deci $T_{3} = C_{5}^{2} \cdot 3^{2} \cdot x^{3} = 10 \cdot 9 \cdot x^{3} = 90 x^{3}$ . Varianta a) apare dacă folosiți doar $3^{1}$ în loc de $3^{2}$ , varianta b) dintr-un calcul greșit al lui $3^{2}$ , iar varianta d) uită complet factorul $3^{2}$ .

Întrebări conexe

Ce este testul schimbului la o problemă de numărare?

Iei două dintre elementele alese și le schimbi între ele. Dacă situația devine alta, ordinea contează și lucrezi cu aranjamente sau permutări; dacă rămâne aceeași, ordinea nu contează și folosești combinări. Testul se face în două secunde, înainte de orice formulă.

Ce trei întrebări aleg metoda de numărare?

Se pot repeta elementele? contează ordinea lor? iei toate obiectele sau doar o parte? Răspunsurile duc la $n^{k}$ , la permutări, la aranjamente sau la combinări. Puse în această ordine, ele elimină pe rând toate variantele nepotrivite.

Ce proprietăți ale combinărilor se folosesc des?

Egalitatea dintre o combinare și complementara ei, $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , care scurtează calculele când $k$ este mare; recurența lui Pascal, care leagă un rând de cel dinainte; și faptul că toate combinările unui rând se adună la $2^{n}$ .

Ce formule de numărare trebuie știute pe de rost?

Regula produsului, $P_{n} = n!$ , $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ și $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ , împreună cu dezvoltarea binomului lui Newton și termenul ei general. Restul se deduce din ele, dar acestea patru trebuie scrise fără ezitare la examen.

Cum se leagă binomul lui Newton de combinări?

Coeficienții dezvoltării lui $(a + b)^{n}$ sunt tocmai combinările de $n$ luate câte $k$ , iar termenul de rang $k + 1$ este $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ . Cerințele de tip „află termenul care conține o anumită putere” se rezolvă punând condiții pe exponentul acestui termen.

Ce greșeală apare când amestec modelele de numărare?

Fracția obținută nu mai reprezintă nimic și poate ieși chiar mai mare decât $1$ . Un raport între o combinare la numărător și un aranjament la numitor compară grupe neordonate cu grupe ordonate, deci compară lucruri care nu se pot compara.

Oamenii mai întreabă și: legătura dintre numărare și probabilitate · cum calculez o probabilitate cu combinări · recapitulare combinatorică și probabilități · metode de numărare la Bacalaureat