Un cercetător măsoară timpul de reacție al $$30$$ de elevi, aleși dintr-un liceu cu $$600$$ de elevi, pentru a estima variabilitatea la nivelul întregului liceu. Ce formulă a abaterii standard trebuie să folosească pentru cele $$30$$ de valori culese?

$$s=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$$, pentru că cei $$30$$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare

$$\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}}$$, pentru că cei $$30$$ de elevi formează o populație

$$s$$ și $$\sigma$$ dau întotdeauna același rezultat, deci oricare formulă e corectă

$$\sigma$$, pentru că orice set de date se tratează implicit ca populație

Ce indicatori descriu un set de date?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Statistică și sondaje: sinteza capitolului

Doi ochi privesc orice set de date: unde stau valorile și cât de răsfirate sunt. Pentru prima întrebare folosești media, mediana și modul; pentru a doua, amplitudinea, cuartilele cu abaterea intercuartilică și abaterea standard. Media se calculează cu $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$ , iar mediana cere ordonarea prealabilă a datelor. Un răspuns complet la o problemă de statistică folosește câte un indicator din fiecare grupă, nu unul singur.

Orice analiză statistică răspunde la două întrebări: unde stau datele și cât de împrăștiate sunt. La prima întrebare răspund media $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}$ , mediana $Q_{2}$ (valoarea din mijloc, după ordonare) și modul. La a doua răspund amplitudinea, cuartilele și abaterea standard. Algoritmul cuartilelor se respectă literă cu literă: ordonezi crescător, calculezi $Q_{2}$ , iar dacă $n$ e impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți; $Q_{1}$ și $Q_{3}$ sunt medianele celor două jumătăți, iar $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ .

Abaterea standard are două formule care nu se amestecă niciodată: $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ pentru populație și $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ pentru eșantion; pe aceleași date, $s > σ$ . Comparând două seturi, un $σ$ mai mic înseamnă grup mai omogen, adică rezultate mai previzibile — dar nu neapărat „mai bun".

Sondajul întreabă un eșantion și extinde concluzia la populație. Eșantionarea stratificată împarte populația în straturi și extrage din fiecare o cotă proporțională, $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ , cu $\sum n_{i} = n$ . Un eșantion mai mare reduce doar eroarea de eșantionare — nu repară autoselecția sau non-răspunsul.

De reținut

poziție: medie, mediană, mod
împrăștiere: amplitudine, IQR, abatere standard
$σ$ pentru populație, $s$ pentru eșantion

Greșeala tipică

Mediana este căutată direct în lista nesortată. Ordonarea crescătoare este pasul dinaintea oricărui calcul de mediană sau de cuartilă, oricât de simple ar părea datele.

Exerciții din această mini-lecție

Un cercetător măsoară timpul de reacție al $30$ de elevi, aleși dintr-un liceu cu $600$ de elevi, pentru a estima variabilitatea la nivelul întregului liceu. Ce formulă a abaterii standard trebuie să folosească pentru cele $30$ de valori culese?
- a) $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , pentru că cei $30$ de elevi formează o populație
- b) $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ , pentru că cei $30$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare
- c) $s$ și $σ$ dau întotdeauna același rezultat, deci oricare formulă e corectă
- d) $σ$ , pentru că orice set de date se tratează implicit ca populație
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ , pentru că cei $30$ de elevi sunt un eșantion dintr-o populație mai mare

Cei $30$ de elevi sunt o submulțime extrasă dintr-o populație mai mare (liceul cu $600$ de elevi), deci setul de date este un eșantion, iar formula potrivită este $s$ , cu împărțire la $n - 1$ . Formula $σ$ (variantele a și d) se folosește doar când setul de date este toată populația studiată. Pe aceleași date, $s$ este întotdeauna mai mare decât $σ$ , deci nu coincid (varianta c e greșită).
Determinați mediana setului de date $2, 5, 7, 9, 12, 15, 18, 20, 24$ .
- a) $9$
- b) $15$
- c) $12$
- d) $10, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $12$

Datele sunt deja ordonate crescător, iar $n = 9$ este impar, deci mediana este valoarea de pe poziția $\frac{9 + 1}{2} = 5$ , adică $Q_{2} = 12$ . Varianta a) ia greșit a patra valoare, varianta b) ia a șasea, iar varianta d) calculează o medie a două valori, ca și cum $n$ ar fi par.
Pentru același set de date, $2, 5, 7, 9, 12, 15, 18, 20, 24$ , determinați $Q_{1}$ .
- a) $7$
- b) $6$
- c) $9$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Cum $n = 9$ este impar, mediana $Q_{2} = 12$ nu intră în nicio jumătate. Jumătatea inferioară este $2, 5, 7, 9$ , iar mediana ei este $Q_{1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$ . Varianta a) ia direct valoarea din mijlocul jumătății fără să calculeze media a două valori, varianta c) include greșit mediana în jumătatea de jos, iar varianta d) ia doar prima valoare.

Întrebări conexe

Care indicatori arată unde stau datele?

Media, mediana și modul. Media ține cont de toate valorile, mediana de poziția din mijloc, iar modul de valoarea cea mai frecventă. Când cele trei se apropie, setul este aproape simetric; când se depărtează, există valori extreme sau o înclinare clară.

Care indicatori arată cât de împrăștiate sunt datele?

Amplitudinea, care folosește doar capetele; abaterea intercuartilică, care descrie jumătatea din mijloc; și abaterea standard, care folosește toate valorile deodată. Ultimele două se aleg după cum setul are sau nu valori izolate.

Ce ordine de pași urmez la calculul cuartilelor?

Ordonezi crescător, calculezi mediana, scoți termenul din mijloc dacă numărul de date este impar, apoi calculezi mediana fiecărei jumătăți. Diferența dintre a treia și prima cuartilă dă abaterea intercuartilică, iar cele cinci numere se pot desena ca boxplot.

De ce iese $s$ mai mare decât $σ$ pe aceleași date?

Pentru că se împarte la un număr mai mic: la $n - 1$ în loc de $n$ . Aceeași sumă de pătrate, împărțită la mai puțin, dă un rezultat mai mare. Alegerea între cele două se face după cum datele sunt un eșantion sau toată populația.

Ce reduce și ce nu reduce un eșantion mai mare?

Scade doar eroarea întâmplătoare, cea care vine din faptul că ai ales o parte, nu întregul. Autoselecția, non-răspunsul și o listă de pornire incompletă rămân neatinse, oricât ai crește numărul de respondenți, fiindcă ele deplasează rezultatul mereu în aceeași direcție.

Ce înseamnă că un grup este mai previzibil?

Că valorile lui se abat puțin de la medie, deci abaterea standard este mică și rezultatele viitoare se pot anticipa mai bine. Previzibilitatea nu spune însă nimic despre nivel: un grup strâns în jurul unei valori mici rămâne un grup slab.

Oamenii mai întreabă și: indicatori statistici · medie mediană mod și abatere standard · ce indicatori folosesc la un set de date · recapitulare statistică