Se știe că $$x \in \left(\pi,\ \dfrac{3\pi}{2}\right)$$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

$$\sin x > 0$$, $$\cos x < 0$$ și $$\operatorname{tg} x < 0$$

$$\sin x 0$$ și $$\operatorname{tg} x < 0$$

$$\sin x > 0$$, $$\cos x > 0$$ și $$\operatorname{tg} x > 0$$

Ce formule de trigonometrie trebuie știute?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Trigonometrie: totul se citește pe cerc

Punctul de pornire: pe cercul de rază unu, prima coordonată a punctului dă cosinusul, iar a doua dă sinusul. Din el ies formula fundamentală, semnele pe cadrane și valorile de bază. Apoi trebuie știute conversia dintre grade și radiani, lungimea arcului și formulele de reducere. Restul, inclusiv sumele și unghiul dublu, se reconstruiesc de aici.

Anul acesta unghiurile s-au mutat pe un cerc de rază $1$ , iar sinusul și cosinusul au căpătat sens pentru orice număr real, nu doar pentru unghiurile ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic. Propoziția din care se reconstruiește tot capitolul este $M (t) = (cos t, sin t)$ : cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata punctului asociat lui $t$ .

Măsurarea pornește de la relația $18 0^{\circ} = π$ rad (din grade în radiani înmulțești cu $\frac{π}{180}$ , invers înlocuiești $π$ cu $18 0^{\circ}$ ), iar lungimea arcului este $ℓ = R \cdot t$ , numai cu $t$ în radiani. Valorile de bază se reconstruiesc cu regula $\frac{n}{2}$ : rândul sinusului urcă $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1$ , iar rândul cosinusului este același, citit invers; tangenta este raportul lor și nu există acolo unde $cos t = 0$ .

Semnele se citesc de pe cerc, nu se memorează: toate pozitive în cadranul I, doar sinusul în II, doar tangenta în III, doar cosinusul în IV. Formula fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ este teorema lui Pitagora pe cercul unitate; ea dă doar pătratul, iar semnul îl decide cadranul. Formulele de reducere ies din simetrii: la $π - x$ , $π + x$ și $2 π - x$ funcția rămâne aceeași și se schimbă doar semnul, iar la $\frac{π}{2} - x$ se schimbă funcția și nu apare niciun minus.

De reținut

$M (t) = (cos t, sin t)$ : cosinusul este abscisa, sinusul ordonata
$18 0^{\circ} = π$ radiani; $ℓ = R \cdot t$ doar cu $t$ în radiani
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ dă doar pătratul; semnul îl decide cadranul
la $\frac{π}{2} - x$ se schimbă funcția, nu semnul

Greșeala tipică

Valorile de bază sunt învățate pe de rost și încurcate între ele; refă tabelul din regula cu radical din $n$ împărțit la doi și verifică fiecare pereche cu formula fundamentală.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} + tg \frac{π}{4}$ .
- a) $2$
- b) $1$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $1 + 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Din tabelul valorilor de bază: $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ și $tg \frac{π}{4} = 1$ , deci suma este $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2$ . Reține trucul de reconstrucție: rândul sinusului este $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1$ , iar rândul cosinusului este exact același, citit de la dreapta la stânga — de aceea $sin \frac{π}{6} = cos \frac{π}{3}$ .
Cât este $sin 22 5^{\circ}$ ?
- a) $- \frac{2}{2}$
- b) $\frac{2}{2}$
- c) $- \frac{3}{2}$
- d) $- \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{2}{2}$

Scriem unghiul cu ajutorul lui $18 0^{\circ}$ : $22 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ . La reducerile cu $π$ funcția rămâne aceeași și se schimbă doar semnul, deci $sin (18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = - sin 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ . Verificarea cu cadranul este obligatorie și durează două secunde: $22 5^{\circ}$ se află în cadranul III, unde sinusul este negativ. ✓
Se știe că $x \in (π, \frac{3 π}{2})$ . Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $sin x > 0$ , $cos x < 0$ și $tg x < 0$
- b) $sin x < 0$ , $cos x < 0$ și $tg x > 0$
- c) $sin x < 0$ , $cos x > 0$ și $tg x < 0$
- d) $sin x > 0$ , $cos x > 0$ și $tg x > 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin x < 0$ , $cos x < 0$ și $tg x > 0$

Intervalul $(π, \frac{3 π}{2})$ este cadranul III. Citim direct de pe cerc: sinusul este ordonata, iar punctul se află sub axa $O x$ , deci $sin x < 0$ ; cosinusul este abscisa, iar punctul se află în stânga axei $O y$ , deci $cos x < 0$ ; tangenta, fiind raportul a două numere negative, este pozitivă. Pe scurt: toate pozitive în I, doar sinusul în II, doar tangenta în III, doar cosinusul în IV. Varianta a) descrie cadranul II, c) cadranul IV, iar d) cadranul I.

Întrebări conexe

În ce ordine învăț formulele de trigonometrie?

Începi cu definițiile de pe cerc și cu tabelul valorilor de bază. Continui cu formula fundamentală și cu semnele pe cadrane, apoi cu reducerea la primul cadran. Abia la final vin sumele, unghiul dublu și transformările, fiindcă se sprijină pe tot ce a fost înainte.

Ce greșeli apar cel mai des la calculele cu sinus și cosinus?

Amestecarea rândurilor din tabel, alegerea semnului fără să te uiți la cadran și folosirea formulei lungimii arcului cu măsura scrisă în grade. Se mai adaugă și scrierea unei valori peste unu, imposibilă pentru sinus sau cosinus.

Cum aleg între cercul trigonometric și tabelul de valori?

Cercul îți dă semnul, cadranul și simetriile, deci îl folosești când trebuie să reduci un unghi sau să decizi un semn. Tabelul îți dă numărul exact pentru unghiurile de bază. La un exercițiu complet ai nevoie de amândouă, în această ordine.

Ce formule de reducere trebuie știute pe de rost?

Cele patru grupe: cu $π$ minus argumentul, cu $π$ plus argumentul, cu tura completă minus argumentul și cu jumătatea de tură minus argumentul. La primele trei se schimbă doar semnul, iar la ultima se schimbă funcția.

Cum recapitulez trigonometria în două ore?

Prima oră refaci desenul cercului cu punctele de bază, tabelul valorilor și tabelul semnelor. A doua oră rezolvi câte un exercițiu din fiecare tip: conversie, reducere, calculul unei funcții din alta și o ecuație elementară. Ce nu iese, notezi și reiei.

Oamenii mai întreabă și: formule de trigonometrie de reținut · recapitulare la trigonometrie · ce formule trigonometrice se cer · formulele esențiale din trigonometrie