Un triunghi are laturile $$5$$, $$6$$ și $$7$$. Ce natură are acest triunghi?

nu există un asemenea triunghi

Când folosesc cosinusul și când sinusurile?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Trigonometrie în geometrie: sinteza capitolului

Alegerea depinde de datele din enunț. Dacă ai trei laturi sau două laturi cu unghiul dintre ele, pornești cu teorema cosinusului, $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Dacă ai o latură împreună cu unghiul opus ei, pornești cu teorema sinusurilor, $\frac{a}{sin A} = 2 R$ . Diferența practică: cosinusul determină unghiul fără dubiu, în timp ce sinusul lasă două variante, un unghi ascuțit și suplementul lui.

Capitolul leagă valorile trigonometrice de geometria triunghiului prin două teoreme date fără demonstrație. Teorema cosinusului, $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , pornește atunci când ai trei laturi (cazul LLL) sau două laturi cu unghiul dintre ele (LUL); teorema sinusurilor, $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ , pornește când ai o pereche completă latură–unghi opus (ULU, LUU sau cazul ambiguu LLU). Regula de triaj ține de o singură diferență: cosinusul determină unghiul fără ambiguitate, pe când sinusul lasă două variante suplementare — de aceea la LLL calculezi întâi unghiul cel mai mare, iar la LLU discuți cazul ambiguu cu $h = b sin A$ .

Din lungimile laturilor, natura triunghiului se stabilește comparând $a^{2}$ cu $b^{2} + c^{2}$ , unde $a$ e latura cea mai lungă. Aria se calculează cu $S = \frac{1}{2} ab sin C$ atunci când cunoști unghiul dintre două laturi, sau cu formula lui Heron, $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , când ai doar cele trei laturi — cele două drumuri se verifică reciproc. Pentru poligoane, strategia e mereu aceeași: descompunere în triunghiuri printr-o diagonală. Niciun rezultat nu e gata fără cele trei controale: inegalitatea triunghiului, suma unghiurilor $18 0^{\circ}$ și ordinea latură mare – unghi mare.

De reținut

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
$S = \frac{1}{2} ab sin C$ sau formula lui Heron

Greșeala tipică

Se scrie un raport între o latură și un unghi care nu îi este opus, de pildă latura $a$ împreună cu unghiul $B$ . Fără o pereche completă latură–unghi opus, teorema sinusurilor nu poate fi pornită.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 6$ , $A C = 9$ și $m (∠ A) = 6 0^{\circ}$ . Calculați lungimea laturii $B C$ .
- a) $310$
- b) $37$
- c) $117$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $37$

Suntem în cazul LUL, cu unghiul dat între laturile date, deci pornim direct cu teorema cosinusului: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 81 + 36 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 117 - 54 = 63$ , deci $B C = 63 = 37$ . Varianta a) apare dacă uiți factorul $2$ din formulă; varianta c) apare dacă uiți complet termenul $- 2 b c cos A$ , adunând doar pătratele laturilor.
Un triunghi are laturile $5$ , $6$ și $7$ . Ce natură are acest triunghi?
- a) dreptunghic
- b) obtuzunghic
- c) ascuțitunghic
- d) nu există un asemenea triunghi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ascuțitunghic

Inegalitatea triunghiului se verifică ( $5 + 6 = 11 > 7$ ), deci varianta d) e greșită. Cea mai lungă latură este $7$ ; comparăm $7^{2} = 49$ cu $5^{2} + 6^{2} = 61$ . Cum $49 < 61$ , triunghiul este **ascuțitunghic**. Dacă ar fi ieșit $49 = 61$ ar fi fost dreptunghic (varianta a), iar dacă $49 > 61$ , obtuzunghic (varianta b).
Într-un triunghi, o latură are lungimea $10$ , iar unghiul opus ei are măsura $4 5^{\circ}$ . Calculați raza cercului circumscris triunghiului.
- a) $102$
- b) $5$
- c) $52$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $52$

Din teorema sinusurilor, $R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{10}{2 \cdot \frac{2}{2}} = \frac{10}{2} = 52 \approx 7, 07$ . Varianta a) este chiar raportul $\frac{a}{sin A} = 2 R = 102$ , confundat cu raza — greșeala „confundarea razei cu diametrul"; variantele b) și d) apar din calcule greșite ale lui $sin 4 5^{\circ}$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă cazurile LLL, LUL, ULU și LLU?

Sunt prescurtări pentru datele cunoscute despre triunghi: trei laturi; două laturi și unghiul dintre ele; două unghiuri și latura dintre ele; două laturi și un unghi nealăturat. Primele două cer teorema cosinusului, ultimele două teorema sinusurilor.

Ce trei controale fac la finalul unei probleme de triunghi?

Verifici inegalitatea triunghiului pentru laturile obținute, verifici că unghiurile se adună la $18 0^{\circ}$ și verifici ordinea: laturii mai lungi trebuie să îi corespundă unghiul mai mare. Un rezultat care pică la vreunul dintre ele este sigur greșit.

Ce se schimbă în teorema cosinusului la un unghi obtuz?

Cosinusul devine negativ, deci termenul scăzut se transformă în adunare. La $A = 12 0^{\circ}$ avem $cos A = - \frac{1}{2}$ , iar formula dă $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ , ceea ce face latura opusă mai lungă, așa cum se și cuvine.

Ce rol are $h = b sin A$ la cazul ambiguu?

Este înălțimea care decide câte triunghiuri se pot construi din datele primite. Dacă latura opusă este mai mică decât această valoare, nu există niciun triunghi; dacă este egală, iese unul dreptunghic; dacă este între această valoare și cealaltă latură, ies două soluții.

De ce latura și unghiul dintr-un raport trebuie să fie opuse?

Fiindcă egalitatea rapoartelor se demonstrează prin cercul circumscris, unde fiecare latură se leagă de unghiul care o vede din vârful opus. Un raport între o latură și un unghi alăturat nu are nicio valoare constantă, deci nu poate porni calculul.

Ce se verifică cu inegalitatea triunghiului?

Că fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Dacă lungimile date sau calculate nu respectă condiția, triunghiul nu există, iar problema are răspunsul „nu se poate construi”, nu un rezultat numeric obținut mai departe.

Oamenii mai întreabă și: ce teoremă folosesc la un triunghi oarecare · teorema cosinusului sau teorema sinusurilor · cum aleg teorema într-o problemă de triunghi · rezolvarea unui triunghi oarecare