Cum număr posibilitățile în mai multe etape?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Regula produsului

Înmulțești numerele de variante ale etapelor, dacă la fiecare pas ai tot atâtea opțiuni, oricare ar fi fost alegerile dinainte. Pentru $k$ etape cu $n_{1}$ , $n_{2}$ , până la $n_{k}$ variante, totalul este produsul lor. Un cod de patru cifre care se pot repeta are $1 0^{4}$ variante, iar unul cu cifre diferite are $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ . Când numărul de opțiuni depinde de ce ai ales înainte, problema se împarte în cazuri.

Regula produsului: dacă o alegere se face în $k$ etape succesive, iar etapa $i$ se poate realiza în $n_{i}$ moduri indiferent de rezultatele etapelor anterioare, atunci numărul total de posibilități este $n_{1} \cdot n_{2} \dots n_{k}$ . Condiția esențială privește numărul de variante, nu variantele înseși — dacă acest număr depinde de alegerea precedentă, regula nu se aplică direct și problema se împarte în cazuri.

Când elementele se pot repeta, la fiecare din cele $k$ poziții ai aceleași $n$ variante: $n^{k}$ posibilități (de exemplu, un cod PIN de $4$ cifre are $1 0^{4}$ variante). Când elementele nu se repetă, oferta scade cu unu la fiecare pas: $n (n - 1) (n - 2) \dots$ , cu exact $k$ factori.

La probleme cu restricții (o cifră nu poate fi $0$ , ultima cifră trebuie să fie pară), ocupă întâi poziția cea mai restricționată, apoi completează restul — dacă începi cu poziția liberă, te încurci, pentru că numărul de variante rămase depinde de alegerea făcută anterior.

O aplicație elegantă: o mulțime cu $n$ elemente are exact $2^{n}$ submulțimi, pentru că fiecare element aduce o decizie independentă «îl iau / nu îl iau».

De reținut

$k$ etape: $n_{1} \cdot n_{2} \dots n_{k}$
cu repetiție: $n^{k}$ ; fără repetiție: $n (n - 1) \dots$ cu $k$ factori
întâi poziția cu restricția cea mai severă

Greșeala tipică

Se aplică produsul și când numărul de variante al unei etape depinde de alegerea dinainte. În astfel de situații se separă cazurile, se înmulțește în fiecare și se adună la sfârșit.

Exerciții din această mini-lecție

Câte coduri PIN de $3$ cifre există, dacă cifrele se pot repeta?
- a) $1000$
- b) $720$
- c) $30$
- d) $100$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1000$

Fiecare din cele $3$ poziții are $10$ variante, iar cifrele se pot repeta: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 0^{3} = 1000$ .
Câte coduri PIN de $3$ cifre distincte există?
- a) $1000$
- b) $720$
- c) $27$
- d) $900$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $720$

Prima poziție are $10$ variante, a doua $9$ (cifra folosită dispare), a treia $8$ : $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .
Câte submulțimi are o mulțime cu $6$ elemente?
- a) $720$
- b) $36$
- c) $64$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $64$

Pentru fiecare dintre cele $6$ elemente decizi, independent, dacă intră sau nu în submulțime: $2^{6} = 64$ submulțimi (inclusiv mulțimea vidă și mulțimea întreagă).

Întrebări conexe

Ce condiție trebuie să respecte etapele ca să pot înmulți variantele?

Numărul de opțiuni al fiecărei etape trebuie să fie același, indiferent ce s-a ales la etapele dinainte. Nu contează care sunt variantele, ci doar câte sunt. Dacă acest număr se schimbă de la un caz la altul, produsul nu mai este valabil și problema se desparte pe cazuri.

Cum număr perechile formate din elemente a două mulțimi?

Înmulțești numărul elementelor: dacă prima mulțime are $4$ elemente și a doua $7$ , ies $28$ de perechi. Este cazul cel mai simplu al regulii produsului, cu două etape independente. Aceeași socoteală dă și numărul căsuțelor dintr-un tabel cu $4$ rânduri și $7$ coloane.

Câte funcții se pot defini de la o mulțime cu 3 elemente la una cu 5?

Fiecare dintre cele trei elemente primește o imagine, aleasă liber dintre cele cinci, iar alegerile nu se influențează între ele. Rezultatul este $5^{3} = 125$ . Dacă imaginile ar trebui să fie diferite, ai număra cu aranjamente și ai obține doar $60$ .

Cu ce poziție încep când problema are o restricție?

Cu poziția cea mai strâmtorată, adică aceea care are cele mai puține variante. Dacă începi cu una liberă, numărul de opțiuni rămase pentru poziția restricționată depinde de ce ai ales, iar produsul nu se mai poate scrie dintr-o singură linie.

Când adun variantele în loc să le înmulțesc?

Când situațiile se exclud una pe alta, adică nu pot avea loc împreună: alegi ori un traseu, ori celălalt. Înmulțirea se folosește la etape care se petrec toate, una după alta. Un semn bun este cuvântul din enunț: „sau” duce la adunare, „și” duce la înmulțire.

Câte variante am dacă fiecare dintre k poziții are aceleași n opțiuni?

Obții $n^{k}$ , fiindcă la fiecare pas oferta rămâne neschimbată. Așa se numără codurile cu repetiție, funcțiile definite pe o mulțime finită sau șirurile de rezultate ale unui experiment repetat. Cazul $n = 2$ dă tocmai numărul submulțimilor.

Oamenii mai întreabă și: regula produsului la numărare · când se înmulțesc posibilitățile · câte coduri PIN există · numărarea în etape succesive · principiul multiplicării