Când adun cazurile la o problemă de numărare?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Regula sumei și combinarea regulilor

Atunci când cazurile nu au niciun element comun și acoperă toate situațiile posibile. Dacă $A$ și $B$ nu se întâlnesc, atunci $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ . Când se suprapun, scazi partea comună: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ . Cele mai multe probleme cer amândouă regulile: împarți în cazuri care nu se amestecă, înmulțești înăuntrul fiecăruia, aduni la final. La enunțurile cu „cel puțin”, e mai rapid să numeri situațiile nefavorabile și să le scazi din total.

Regula sumei: dacă situațiile posibile se împart în cazuri care se exclud reciproc (nu au niciun element comun), numărul total de posibilități este suma numerelor din fiecare caz: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ , dacă $A \cap B = \emptyset$ . O împărțire corectă în cazuri trebuie să treacă două teste: cazurile nu se suprapun și acoperă tot.

Când cazurile se suprapun, se scade partea comună: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ . Cele mai multe probleme reale combină regulile: împarți în cazuri disjuncte, înmulțești în interiorul fiecărui caz, aduni la final — de pildă, la numerele pare cu cifre distincte se separă cazul «ultima cifră $0$ » de cazul «ultima cifră $2, 4, 6, 8$ », pentru că altfel numărul de variante pentru prima cifră depinde de alegerea de la ultima.

La enunțurile cu «cel puțin», numărarea directă e adesea greoaie; e mult mai rapid să numeri prin complement: cazuri favorabile $=$ total $-$ cazuri nefavorabile. Atenție: contrariul lui «cel puțin unul» este «niciunul», dar contrariul lui «cel puțin doi» este «cel mult unul» (niciunul sau exact unul), nu «niciunul».

De reținut

cazuri fără element comun: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$
cazuri care se suprapun: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$
„cel puțin unu”: total $-$ cazurile fără niciunul

Greșeala tipică

Se adună direct numerele a două grupe care au elemente comune. Partea comună ajunge astfel numărată de două ori, așa că trebuie scăzută o dată din total.

Exerciții din această mini-lecție

O agenție oferă $5$ trasee la munte sau $3$ trasee la mare (liste disjuncte). Câte variante de vacanță (un singur traseu) există?
- a) $8$
- b) $15$
- c) $5$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8$

Cazurile se exclud reciproc (un traseu nu e simultan la munte și la mare), deci se aplică regula sumei: $5 + 3 = 8$ .
Într-o clasă, $20$ de elevi joacă fotbal, $15$ joacă baschet, iar $8$ joacă ambele sporturi. Câți elevi practică cel puțin unul dintre cele două sporturi?
- a) $35$
- b) $27$
- c) $12$
- d) $43$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $27$

Cazurile se suprapun: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣ = 20 + 15 - 8 = 27$ . Adunarea directă, $35$ , ar număra de două ori cei $8$ elevi din intersecție.
Un meniu începe fie cu una din $3$ supe, fie cu una din $2$ salate, apoi se alege unul din $4$ feluri principale. Câte meniuri complete există?
- a) $9$
- b) $24$
- c) $20$
- d) $11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $20$

Primul curs: $3 + 2 = 5$ variante (supele și salatele sunt liste disjuncte). Felul principal: $4$ variante, indiferent de primul curs. Total: $(3 + 2) \cdot 4 = 20$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că două cazuri se exclud reciproc?

Înseamnă că nicio situație nu aparține amândurora deodată. Un traseu nu poate fi în același timp la munte și la mare, iar un număr nu se poate termina simultan în două cifre diferite. Doar atunci adunarea numără fiecare posibilitate exact o dată.

Cum se scrie regula sumei pentru trei categorii care se exclud?

Numărul total este suma celor trei, fără nicio corecție, atâta timp cât nicio pereche nu are elemente comune. Condiția se verifică luând categoriile două câte două; dacă o singură pereche se atinge, forma simplă a regulii nu mai este valabilă.

De ce regula produsului cere alegeri independente?

Fiindcă numărul de variante de la a doua etapă trebuie să fie același, oricare ar fi fost alegerea de la prima. Dacă el se schimbă de la caz la caz, înmulțirea nu mai are sens, iar problema se rupe în cazuri numărate separat.

Cum număr elementele care îndeplinesc două condiții deodată?

Cauți mulțimea celor care le respectă pe amândouă și o numeri separat. La divizibilitatea cu două numere, aceasta este mulțimea multiplilor celui mai mic multiplu comun al lor, care se numără printr-o singură împărțire.

Cum împart în cazuri o problemă după prima cifră?

Iei pe rând fiecare valoare posibilă a primei cifre și numeri separat pentru fiecare, apoi aduni. Împărțirea este bună dacă orice număr căutat intră într-un singur caz și niciun caz nu rămâne gol. Metoda salvează problemele în care o poziție are restricții proprii.

Ce trebuie să verific ca să știu că împărțirea în cazuri este completă?

Două lucruri: cazurile să nu se suprapună și, împreună, să acoperă tot ce cere enunțul. Primul test oprește numărarea dublă, al doilea oprește pierderea unor situații. Dacă unul dintre ele cade, rezultatul iese fie prea mare, fie prea mic.

Oamenii mai întreabă și: regula sumei la numărare · când adun și când înmulțesc · numărare prin complement · cazuri care se exclud reciproc · principiul includerii și excluderii