Cum aflu suma și produsul rădăcinilor complexe?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Relațiile lui Viète în ℂ

Cu aceleași relații ca peste numerele reale: suma este $- \frac{b}{a}$ , iar produsul este $\frac{c}{a}$ , oricare ar fi coeficienții, chiar și nereali. Citite invers, ele arată cum se construiește o ecuație: dacă vrei două numere cu suma $S$ și produsul $P$ , le iei drept rădăcini ale lui $z^{2} - S z + P = 0$ . Orice expresie simetrică se calculează apoi din $S$ și $P$ , fără să rezolvi ecuația: de pildă $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ .

Pentru $a z^{2} + b z + c = 0$ cu $a, b, c \in C$ , $a \neq = 0$ , și rădăcinile $z_{1}, z_{2}$ , relațiile lui Viète rămân neschimbate față de $R$ :

$z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}, z_{1} z_{2} = \frac{c}{a} .$

Citite invers, dau o rețetă de construcție: numerele cu suma $S$ și produsul $P$ sunt exact rădăcinile ecuației $z^{2} - S z + P = 0$ (atenție la semnul minus din fața lui $S$ ).

Orice expresie simetrică de rădăcini se calculează direct din $S$ și $P$ , fără a rezolva ecuația: $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ , $z_{1}^{3} + z_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S$ , $\frac{1}{z _{1}} + \frac{1}{z _{2}} = \frac{S}{P}$ , $(z_{1} - z_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$ .

Doar atunci când toți coeficienții sunt reali și $Δ < 0$ , rădăcinile nereale sunt conjugate, iar $S$ și $P$ devin numere reale, cu $P = ∣ z_{1} ∣^{2} > 0$ . La coeficienți complecși generali, $S$ și $P$ pot fi orice numere complexe. O capcană clasică: $z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$ (poate fi negativ sau nereal) nu trebuie confundat cu $∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2}$ (întotdeauna real nenegativ) — cele două expresii se calculează diferit și pot da rezultate complet diferite pentru aceeași pereche de rădăcini, așa cum arată exemplul tip Bacalaureat al lecției.

De reținut

$z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ , $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$
din $S$ și $P$ : $z^{2} - S z + P = 0$
$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ ; $z_{1}^{3} + z_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S$

Greșeala tipică

Se presupune că rădăcinile sunt conjugate la orice ecuație de gradul al doilea. Proprietatea ține numai când toți coeficienții sunt numere reale; cu un coeficient nereal ea cade.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru ecuația $3 z^{2} - (6 + 3 i) z + 9 i = 0$ , cât este $S$ (suma rădăcinilor)?
- a) $2 + i$
- b) $6 + 3 i$
- c) $3 i$
- d) $2 - i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 + i$

$S = - b / a = \frac{6 + 3 i}{3} = 2 + i$ — se împarte întreaga fracție, atât partea reală, cât și cea imaginară.
Scrieți ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$ , care are rădăcinile $z_{1} = 4$ și $z_{2} = - 3 i$ .
- a) $z^{2} + (4 - 3 i) z - 12 i = 0$
- b) $z^{2} - (4 - 3 i) z - 12 i = 0$
- c) $z^{2} - (4 - 3 i) z + 12 i = 0$
- d) $z^{2} - (4 + 3 i) z - 12 i = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $z^{2} - (4 - 3 i) z - 12 i = 0$

$S = 4 - 3 i$ și $P = 4 \cdot (- 3 i) = - 12 i$ , deci ecuația este $z^{2} - S z + P = z^{2} - (4 - 3 i) z - 12 i = 0$ .
Fie $z_{1}, z_{2}$ rădăcinile ecuației $z^{2} - 6 z + 11 = 0$ . Calculați $z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$ fără a rezolva ecuația.
- a) $- 14$
- b) $25$
- c) $14$
- d) $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $14$

$S = 6$ , $P = 11$ , deci $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 36 - 22 = 14$ .

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu suma și produsul dacă împart ecuația la $a$ ?

Nu se schimbă nimic, fiindcă rădăcinile rămân aceleași. După împărțire coeficienții devin $\frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ , adică exact opusul sumei și produsul. De aceea forma cu coeficient dominant $1$ se citește direct, fără nicio împărțire suplimentară.

Cum verific dacă un număr complex este rădăcină a ecuației?

Îl înlocuiești în ecuație și calculezi; dacă rezultatul iese zero, este rădăcină. Mai scurt, verifici dacă suma lui cu presupusa a doua rădăcină dă $- \frac{b}{a}$ și dacă produsul lor dă $\frac{c}{a}$ . Amândouă condițiile trebuie îndeplinite deodată.

Ce legătură are expresia $S^{2} - 4 P$ cu discriminantul?

Este chiar discriminantul împărțit la pătratul coeficientului dominant. Expresia apare scăzând de patru ori produsul din pătratul sumei și dă pătratul diferenței rădăcinilor, ceea ce explică de ce semnul discriminantului hotărăște natura rădăcinilor la coeficienți reali.

Ce ecuație are drept rădăcini inversele rădăcinilor date?

Cea obținută citind coeficienții în ordine inversă: din $a z^{2} + b z + c = 0$ iese $c z^{2} + b z + a = 0$ . Suma noilor rădăcini este $\frac{S}{P}$ , iar produsul lor $\frac{1}{P}$ , deci singura condiție este ca $P$ să nu fie zero.

Ce se întâmplă cu $S$ și cu $P$ dacă mut toate rădăcinile cu un număr?

Suma crește cu dublul acelui număr, fiindcă fiecare rădăcină se mărește la fel, iar produsul se schimbă după desfacerea parantezelor. Practic obții ecuația nouă înlocuind peste tot pe $z$ cu $z$ minus numărul respectiv și recitind apoi coeficienții.

Cum calculez suma inverselor rădăcinilor din sumă și produs?

Aduci fracțiile la același numitor: $\frac{1}{z _{1}} + \frac{1}{z _{2}} = \frac{z _{1} + z _{2}}{z _{1} z _{2}} = \frac{S}{P}$ . Formula cere ca $P$ să fie nenul, adică termenul liber al ecuației să nu se anuleze. Aceeași idee dă și $(z_{1} - z_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$ , folosită la diferența rădăcinilor.

Oamenii mai întreabă și: relațiile lui Viète în complex · suma și produsul rădăcinilor · ecuația din sumă și produs · expresii simetrice de rădăcini · suma pătratelor rădăcinilor