Cum arată relațiile lui Viète la grad n?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sume și produse, la orice grad

Pentru $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ cu rădăcinile $x_{1}, \dots, x_{n}$ , sumele simetrice fundamentale se citesc dintr-o singură formulă: $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ . Aici $S_{1}$ adună rădăcinile, $S_{2}$ adună produsele de câte două, iar $S_{n}$ este produsul tuturor. Semnele alternează, iar indicele coeficientului coboară pe măsură ce $k$ crește. La $X^{4} - 3 X^{3} + X - 2$ obții $S_{1} = 3$ , $S_{2} = 0$ , $S_{3} = - 1$ și $S_{4} = - 2$ .

Relațiile lui Viète nu se opresc la gradul al treilea: pentru un polinom $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ cu rădăcinile $x_{1}, \dots, x_{n}$ , sumele simetrice fundamentale $S_{1}, \dots, S_{n}$ (suma rădăcinilor, suma produselor de câte două, …, produsul tuturor) verifică formula unică $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ . Tiparul semnelor alternante și numărătorul care coboară prin coeficienți se păstrează la orice grad; demonstrația e simplă identificare de coeficienți între $f$ și descompunerea canonică $a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ . Fiecare $S_{k}$ are exact $C_{n}^{k}$ termeni, iar coeficienții lipsă din polinom se tratează ca fiind $0$ , nu ca inexistenți — o capcană frecventă.

Consecințele practice sunt identice cu cele de la gradul al treilea: suma pătratelor rădăcinilor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ (poate fi negativă dacă unele rădăcini sunt complexe), iar suma inverselor este $\frac{S _{n - 1}}{S _{n}}$ , cu condiția obligatorie $a_{0} \neq = 0$ — altfel $0$ este rădăcină și expresia nu are sens. Pentru puteri mai mari (cuburi, puterea a patra), tehnica rămâne aceeași: fiecare rădăcină verifică ecuația, deci scrii relația pentru fiecare și le aduni. Problema inversă — reconstruirea polinomului monic din sumele $S_{1}, \dots, S_{n}$ — se scrie direct: $X^{n} - S_{1} X^{n - 1} + S_{2} X^{n - 2} - \dots + (- 1)^{n} S_{n}$ .

De reținut

$S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$
$S_{k}$ are $C_{n}^{k}$ termeni
suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$

Greșeala tipică

Se folosesc semnele din memorie, la întâmplare. Ele se controlează cu factorul $(- 1)^{k}$ : la $S_{1}$ minus, la $S_{2}$ plus, la $S_{3}$ iarăși minus și tot așa.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ rădăcinile ecuației $X^{4} - 5 X^{3} + 5 X^{2} + 5 X - 6 = 0$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ .
- a) $15$
- b) $25$
- c) $10$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $15$

Din Viète: $S_{1} = 5$ , $S_{2} = 5$ , deci suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 25 - 10 = 15$ . Rădăcinile sunt $1, - 1, 2, 3$ : direct $1 + 1 + 4 + 9 = 15$ . ✓
Pentru aceeași ecuație $X^{4} - 5 X^{3} + 5 X^{2} + 5 X - 6 = 0$ , calculați $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} + \frac{1}{x _{4}}$ .
- a) $- \frac{5}{6}$
- b) $\frac{5}{6}$
- c) $\frac{6}{5}$
- d) $\frac{5}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{5}{6}$

Se calculează $S_{3} = - 5$ și $S_{4} = - 6$ din rădăcinile $1, - 1, 2, 3$ . Termenul liber este nenul, deci suma inverselor este $\frac{S _{3}}{S _{4}} = \frac{- 5}{- 6} = \frac{5}{6}$ . Direct: $1 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ . ✓
Fie $f = X^{5} - 2 X^{4} + 3 X^{3} - X - 5$ , cu rădăcinile $x_{1}, \dots, x_{5}$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{5}^{2}$ .
- a) $4$
- b) $10$
- c) $- 2$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 2$

Coeficientul lui $X^{2}$ este $0$ , deci $S_{2} = 3$ vine doar din termenul în $X^{3}$ : $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 3$ . Suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 4 - 6 = - 2$ — negativă, semn că unele rădăcini sunt complexe.

Întrebări conexe

Cum reconstruiesc polinomul monic din sumele simetrice?

Scrii direct $X^{n} - S_{1} X^{n - 1} + S_{2} X^{n - 2} - \dots + (- 1)^{n} S_{n}$ , cu semne care se schimbă la fiecare pas. Pentru $n = 4$ și sumele $2$ , $- 1$ , $0$ , $5$ obții $X^{4} - 2 X^{3} - X^{2} + 5$ . Este exact citirea inversă a formulei generale.

Ce se întâmplă cu relațiile lui Viète dacă termenul liber este nul?

Atunci produsul tuturor rădăcinilor este zero, deci cel puțin una dintre ele este zero. Celelalte relații rămân valabile, dar suma inverselor nu mai are sens, fiindcă ar cere împărțirea la zero; se dă factor comun nedeterminata și se lucrează cu polinomul rămas.

Cum arată relațiile lui Viète la un polinom de gradul al patrulea?

Ai patru relații: suma rădăcinilor este $- \frac{a _{3}}{a _{4}}$ , suma produselor de câte două este $\frac{a _{2}}{a _{4}}$ , suma produselor de câte trei este $- \frac{a _{1}}{a _{4}}$ , iar produsul tuturor este $\frac{a _{0}}{a _{4}}$ . Ultima are semnul plus, pentru că exponentul $4$ este par.

De ce coeficienții lipsă se scriu cu zero la relațiile lui Viète?

Fiindcă formula folosește rangul, nu poziția din scriere. La $X^{5} - 3 X^{4} + 2 X^{3} + X - 7$ coeficientul lui $X^{2}$ este zero; dacă îl sari, toți indicii se decalează cu unu și fiecare sumă iese greșită. Scrie lista completă înainte de orice calcul.

Ce legătură au relațiile lui Viète cu descompunerea canonică?

Se obțin identificând coeficienții între forma desfăcută a polinomului și produsul $a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ . Fiecare coeficient al produsului adună toate alegerile posibile de rădăcini, de unde ies sumele simetrice, iar semnul vine din minusurile din paranteze.

Se pot afla rădăcinile dintr-un sistem de relații Viète?

Uneori da, dacă enunțul dă și o legătură suplimentară între rădăcini, de pildă că două sunt egale sau că formează o progresie. Combinând acea informație cu una dintre sume obții o rădăcină, apoi cobori gradul. Fără indicii, sistemul este de obicei mai greu decât ecuația inițială.

Oamenii mai întreabă și: relațiile lui Viete pentru grad n · sume simetrice fundamentale · formula generală a relațiilor lui Viete · legătura dintre rădăcini și coeficienți