Care sunt relațiile lui Viète la gradul 3?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ce spun coeficienții despre rădăcini

Pentru $a X^{3} + b X^{2} + c X + d = 0$ cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ avem $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ . Semnele merg minus, plus, minus. La $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = 0$ , cu rădăcinile $1$ , $2$ , $3$ , ies suma $6$ , suma produselor de câte două $11$ și produsul $6$ . Cu ele calculezi expresii simetrice fără să rezolvi ecuația.

Pentru o ecuație de gradul al treilea $a X^{3} + b X^{2} + c X + d = 0$ , cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ numărate cu multiplicități, relațiile lui Viète leagă direct coeficienții de trei expresii simetrice: $S_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $S_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ și $S_{3} = x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ . Semnele alternează: minus, plus, minus. Ele se obțin identificând coeficienții între forma dezvoltată a polinomului și descompunerea canonică $a (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ .

Din aceste trei numere calculezi, fără să rezolvi ecuația, orice expresie simetrică de rădăcini: suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ , suma inverselor este $\frac{S _{2}}{S _{3}}$ (cu condiția $S_{3} \neq = 0$ ), iar suma cuburilor se obține observând că fiecare rădăcină verifică ecuația și adunând cele trei relații rezultate — metodă care funcționează la orice putere. Aceeași idee rezolvă și problema inversă: când ai o relație dată între rădăcini (de exemplu $x_{1} + x_{2} = x_{3}$ , sau rădăcini în progresie aritmetică ori geometrică), combini relația cu una dintre formulele lui Viète pentru a afla explicit o rădăcină, apoi impui ca ea să anuleze polinomul, obținând parametrul necunoscut. Regula de recunoaștere: orice expresie care nu se schimbă la permutarea rădăcinilor se poate calcula astfel din coeficienți.

De reținut

$S_{1} = - \frac{b}{a}$ , $S_{2} = \frac{c}{a}$ , $S_{3} = - \frac{d}{a}$
suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$
suma inverselor: $\frac{S _{2}}{S _{3}}$ , cu $S_{3} \neq = 0$

Greșeala tipică

Se scrie produsul rădăcinilor ca $\frac{d}{a}$ , fără minus. Semnul se verifică pe o ecuație cu rădăcini știute, unde termenul liber și produsul rădăcinilor ies cu semne opuse.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ rădăcinile ecuației $x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8 = 0$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ .
- a) $21$
- b) $35$
- c) $49$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $21$

Din Viète: $S_{1} = 7$ , $S_{2} = 14$ . Formula $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 49 - 28 = 21$ . Rădăcinile ecuației sunt $1, 2, 4$ , iar direct $1 + 4 + 16 = 21$ . ✓
Fie $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ rădăcinile ecuației $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$ . Calculați $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}$ .
- a) $\frac{3}{10}$
- b) $- \frac{3}{10}$
- c) $- \frac{3}{5}$
- d) $\frac{10}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{3}{10}$

Din Viète: $S_{2} = 3$ , $S_{3} = - 10$ (termenul liber $10 \neq = 0$ , deci nicio rădăcină nu e nulă). Suma inverselor este $\frac{S _{2}}{S _{3}} = \frac{3}{- 10} = - \frac{3}{10}$ . Rădăcinile sunt $- 1, 2, 5$ : $- 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = - \frac{3}{10}$ . ✓
Determinați $m \in R$ știind că rădăcinile ecuației $x^{3} - 10 x^{2} + m x - 30 = 0$ verifică $x_{1} + x_{2} = x_{3}$ .
- a) $25$
- b) $15$
- c) $31$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $31$

Din $S_{1} = 10$ și $x_{1} + x_{2} = x_{3}$ rezultă $2 x_{3} = 10$ , deci $x_{3} = 5$ . Impunem $f (5) = 0$ : $125 - 250 + 5 m - 30 = 5 m - 155 = 0$ , deci $m = 31$ . Rădăcinile sunt $2, 3, 5$ , iar $2 + 3 = 5$ . ✓

Întrebări conexe

De ce semnele relațiilor lui Viète alternează?

Pentru că vin din desfacerea produsului $a (X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ , unde fiecare rădăcină intră cu semn schimbat. La coeficientul lui $X^{2}$ apare o rădăcină, deci un minus; la coeficientul lui $X$ apar două, deci un plus; la termenul liber apar toate trei, deci iar minus.

Ce fac dacă polinomul nu este monic la relațiile lui Viète?

Împarți fiecare relație la coeficientul dominant, care apare la numitor peste tot. La $2 X^{3} - 4 X^{2} + 6 X - 8 = 0$ , suma rădăcinilor este $\frac{4}{2} = 2$ , nu $4$ ; suma produselor de câte două este $3$ , iar produsul rădăcinilor este $4$ .

Ce este o expresie simetrică de rădăcini?

Este o expresie care rămâne neschimbată dacă permuți rădăcinile între ele, cum sunt suma pătratelor sau suma inverselor. Orice astfel de expresie se poate scrie folosind doar cele trei sume din relațiile lui Viète, deci se calculează direct din coeficienți.

Cum construiesc ecuația de gradul al treilea din cele trei sume?

Scrii direct $X^{3} - S_{1} X^{2} + S_{2} X - S_{3} = 0$ , unde $S_{1}$ este suma rădăcinilor, $S_{2}$ suma produselor de câte două și $S_{3}$ produsul lor. Pentru $S_{1} = 6$ , $S_{2} = 11$ și $S_{3} = 6$ obții $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = 0$ , cu rădăcinile $1$ , $2$ și $3$ .

Ce fac dacă lipsește un termen din ecuația de gradul al treilea?

Coeficientul lui este $0$ și intră ca atare în relații. La $X^{3} + 3 X^{2} - 4 = 0$ termenul în $X$ lipsește, deci suma produselor de câte două rădăcini este zero, iar suma rădăcinilor este $- 3$ . Scrie lista completă de coeficienți înainte de a calcula.

Cum verific rapid semnele relațiilor lui Viète?

Iei o ecuație cu rădăcini cunoscute și compari. Din $(X - 1) (X - 2) (X - 3) = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ se vede că produsul rădăcinilor este $6$ , în timp ce termenul liber este $- 6$ , ceea ce confirmă minusul din a treia relație.

Oamenii mai întreabă și: relațiile lui Viete gradul 3 · relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul trei · suma și produsul rădăcinilor la gradul trei · formulele lui Viete grad 3