Cazul LUL înseamnă:

două laturi și un unghi nealăturat

La rezolvarea LUL cu unghiul dintre laturi de $$120^\circ$$, formula teoremei cosinusului devine $$a^2=b^2+c^2+bc$$, pentru că:

$$-2bc\cos120^\circ=-2bc\cdot\left(-\dfrac12\right)=+bc$$

unghiul obtuz anulează termenul

formula se schimbă la unghiuri obtuze

Ce înseamnă a rezolva un triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rezolvarea triunghiului: LLL și LUL

Înseamnă a determina fiecare dintre cele șase mărimi ale figurii, adică cele trei lungimi de laturi și cele trei măsuri de unghiuri, plecând de la câteva date dintre care măcar una trebuie să fie o lungime. Denumirea cazului vine din ce anume se cunoaște: LLL, LUL, ULU, LUU ori LLU. Cu trei laturi sau cu două laturi și unghiul dintre ele pornești pe teorema cosinusului; cu o latură și unghiul din fața ei pornești pe teorema sinusurilor.

A rezolva un triunghi înseamnă a-i determina toate cele șase elemente: trei laturi și trei unghiuri, pornind de la câteva dintre ele (printre care trebuie să existe cel puțin o latură). În funcție de datele primite, situația se numește LLL, LUL, ULU, LUU sau LLU.

Această lecție tratează cele două cazuri în care unealta principală este teorema cosinusului: LLL (trei laturi) și LUL (două laturi și unghiul dintre ele).

La LLL, afli întâi unghiul cel mai mare (opus celei mai mari laturi), cu $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , apoi încă un unghi la fel, iar al treilea din suma de $18 0^{\circ}$ . La LUL, afli întâi a treia latură cu $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , apoi continui exact ca la LLL, cu toate laturile cunoscute.

Triajul corect: dacă printre date există o latură împreună cu unghiul opus ei, pornești cu teorema sinusurilor (vezi lecția următoare); altfel, cu teorema cosinusului. Cele două controale obligatorii la finalul oricărei rezolvări: suma unghiurilor este $18 0^{\circ}$ (cu mică abatere din rotunjiri), iar cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi. Ambele soluții — LLL și LUL — există și sunt unice, dacă datele respectă inegalitatea triunghiului.

De reținut

LLL și LUL: teorema cosinusului
LUL: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
control final: suma unghiurilor $18 0^{\circ}$

Greșeala tipică

După ce află a treia latură în cazul LUL, elevul trece la teorema sinusurilor și alege unghiul greșit dintre cele două posibile. Cu toate laturile cunoscute, calea sigură rămâne cosinusul, care dă un rezultat lipsit de ambiguitate.

Exerciții din această mini-lecție

Cazul LUL înseamnă:
- a) două laturi și unghiul dintre ele
- b) o latură și două unghiuri
- c) două laturi și un unghi nealăturat
- d) trei laturi cunoscute
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) două laturi și unghiul dintre ele

LUL = Latură, Unghi, Latură: cele două laturi cunoscute încadrează unghiul dat.
Pentru cazul LLL, prima unealtă folosită este:
- a) teorema sinusurilor
- b) teorema cosinusului
- c) formula lui Heron
- d) teorema lui Pitagora directă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) teorema cosinusului

Cu toate laturile cunoscute și niciun unghi, singura cale de pornire este teorema cosinusului, scrisă cu cosinusul izolat.
La rezolvarea LUL cu unghiul dintre laturi de $12 0^{\circ}$ , formula teoremei cosinusului devine $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ , pentru că:
- a) unghiul obtuz anulează termenul
- b) formula se schimbă la unghiuri obtuze
- c) $- 2 b c cos 12 0^{\circ} = - 2 b c \cdot (- \frac{1}{2}) = + b c$
- d) $cos 12 0^{\circ}$ este pozitiv
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 2 b c cos 12 0^{\circ} = - 2 b c \cdot (- \frac{1}{2}) = + b c$

Cosinusul lui $12 0^{\circ}$ este $- \frac{1}{2}$ , iar dublul minus din formulă face ca termenul final să fie $+ b c$ .

Întrebări conexe

Ce este cazul LLL la rezolvarea unui triunghi?

Este situația în care cunoști toate trei laturile și niciun unghi. Se rezolvă cu teorema cosinusului scrisă cu cosinusul singur, aplicată de două ori; al treilea unghi se obține din suma de $18 0^{\circ}$ . Datele determină triunghiul în întregime, dacă respectă inegalitatea triunghiului.

Cu ce unghi încep rezolvarea în cazul LLL?

Cu cel din fața celei mai lungi laturi, fiindcă doar acela poate fi obtuz. Aflându-l primul, știi imediat forma triunghiului și eviți surpriza unui cosinus negativ apărut târziu. Celelalte două unghiuri ies apoi ascuțite, ceea ce simplifică verificarea.

Cât iese latura a dacă b are 16, c are 10, iar unghiul dintre ele are 60 de grade?

Din $a^{2} = 1 6^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot cos 6 0^{\circ}$ obții $a^{2} = 356 - 160 = 196$ , deci $a = 14$ . Cosinusul de $6 0^{\circ}$ fiind $\frac{1}{2}$ , produsul $320$ se înjumătățește înainte de scădere. Valoarea găsită se află între $6$ și $26$ , deci respectă inegalitatea triunghiului față de laturile date.

Câte elemente are un triunghi complet rezolvat?

Șase: cele trei laturi și cele trei unghiuri. Datele inițiale trebuie să conțină cel puțin o lungime, altfel obții doar forma, nu și mărimea. Trei unghiuri singure descriu o familie întreagă de triunghiuri asemenea.

Cum decid cu care teoremă pornesc rezolvarea unui triunghi?

Cauți printre date o latură împreună cu unghiul din fața ei. Dacă o găsești, pornești cu teorema sinusurilor. Dacă nu, ai fie trei laturi, fie două laturi cu unghiul dintre ele, iar unealta potrivită devine teorema cosinusului.

Ce controale fac la finalul rezolvării unui triunghi?

Verifici că suma unghiurilor dă $18 0^{\circ}$ , cu o mică abatere din rotunjiri, și că ordinea laturilor se potrivește cu ordinea unghiurilor din fața lor. Al doilea control prinde tocmai perechile încurcate, greșeala cea mai frecventă la acest capitol.

Oamenii mai întreabă și: rezolvarea unui triunghi oarecare · ce înseamnă cazurile LLL și LUL · cele șase elemente ale triunghiului · cu ce teoremă încep rezolvarea unui triunghi · aflarea tuturor laturilor și unghiurilor