Cazul LLU este numit cazul ambiguu pentru că:

$$\sin B=k$$ are două soluții posibile în $$(0^\circ,180^\circ)$$

laturile nu pot fi determinate deloc

nu există niciodată nicio soluție

unghiul dat este întotdeauna drept

La cazul ULU, primul pas obligatoriu este:

calculul celui de-al treilea unghi din suma de $$180^\circ$$

aplicarea directă a teoremei sinusurilor

De ce cazul LLU poate da două triunghiuri?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rezolvarea triunghiului: ULU și cazul ambiguu LLU

La LLU cunoști două laturi și un unghi care nu se sprijină pe amândouă. Teorema sinusurilor duce la o ecuație de forma $sin B = k$ , iar pe intervalul unghiurilor unui triunghi ea are două soluții suplementare, $B$ și $18 0^{\circ} - B$ . Ambele pot da triunghiuri valabile, de aceea situația se numește cazul ambiguu. Numărul lor se stabilește dinainte comparând latura din fața unghiului cu înălțimea $h = b sin A$ .

Când datele sunt o latură și cele două unghiuri alăturate ei (ULU), primul pas obligatoriu este al treilea unghi, din suma de $18 0^{\circ}$ ; abia apoi se aplică teorema sinusurilor. Când perechea latură–unghi opus e dată direct (LUU), teorema sinusurilor pornește imediat. Ambele cazuri au întotdeauna exact o soluție — aceasta e metoda din spatele triangulației, folosită pentru a măsura distanțe inaccesibile dintr-o bază accesibilă și două unghiuri.

Situația se schimbă la LLU: două laturi și un unghi nealăturat lor. Aici $sin B = k$ are, în general, două soluții — $B$ și $18 0^{\circ} - B$ —, deci se numește cazul ambiguu.

Discuția completă folosește înălțimea $h = b sin A$ : pentru $A$ ascuțit, $a < h$ dă zero triunghiuri, $a = h$ dă unul (dreptunghic), $h < a < b$ dă două, iar $a \geq b$ dă unul singur. Dacă $A$ este drept sau obtuz, există un triunghi doar când $a > b$ .

Greșelile tipice: a da o singură soluție acolo unde există două, a sări peste al treilea unghi la ULU, a confunda LLU cu LUL (unghiul trebuie să fie între laturi ca să fie LUL) și a ignora semnalul $sin B > 1$ , care arată că datele nu descriu niciun triunghi.

De reținut

LLU: $sin B = k$ are două soluții suplementare
reper: $h = b sin A$
ULU și LUU: exact o soluție

Greșeala tipică

Se scrie doar soluția ascuțită a ecuației cu sinus și se pierde jumătate din răspuns. La cazul ambiguu se verifică amândouă valorile, iar cea care duce la o sumă de unghiuri peste $18 0^{\circ}$ se respinge motivat.

Exerciții din această mini-lecție

Cazul LLU este numit cazul ambiguu pentru că:
- a) $sin B = k$ are două soluții posibile în $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
- b) laturile nu pot fi determinate deloc
- c) nu există niciodată nicio soluție
- d) unghiul dat este întotdeauna drept
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $sin B = k$ are două soluții posibile în $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$

Ecuația $sin B = k$ admite, în general, două unghiuri suplementare ca soluție — de aici ambiguitatea numărului de triunghiuri.
La cazul ULU, primul pas obligatoriu este:
- a) formula lui Heron
- b) calculul celui de-al treilea unghi din suma de $18 0^{\circ}$
- c) aplicarea directă a teoremei sinusurilor
- d) teorema cosinusului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) calculul celui de-al treilea unghi din suma de $18 0^{\circ}$

Fără al treilea unghi nu ai o pereche latură–unghi opus completă pentru a porni teorema sinusurilor.
Dacă unghiul $A$ este obtuz sau drept și $a > b$ , câte triunghiuri există?
- a) zero
- b) două
- c) o infinitate
- d) exact unul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) exact unul

La unghi obtuz sau drept, soluția e unică dacă $a > b$ ; altfel nu există niciun triunghi.

Întrebări conexe

Ce înseamnă cazul ULU la rezolvarea unui triunghi?

Cunoști o latură și cele două unghiuri sprijinite pe ea. Primul pas este al treilea unghi, obținut din suma de $18 0^{\circ}$ ; abia apoi teorema sinusurilor dă celelalte laturi. Situația are întotdeauna o soluție, fiindcă forma și mărimea sunt fixate complet.

La ce folosește înălțimea h egală cu b ori sinus de A în discuția cazului LLU?

Ea este distanța de la vârful liber până la dreapta pe care se sprijină unghiul dat și devine reperul comparației. Dacă latura din fața unghiului este mai scurtă decât $h$ , nu ajunge până acolo și nu se închide niciun triunghi; dacă este egală, apare exact unul, dreptunghic.

Cum verific la final că triunghiul găsit este posibil?

Aduni cele trei unghiuri și trebuie să obții $18 0^{\circ}$ . Apoi controlezi ordinea: laturii celei mai lungi îi corespunde unghiul cel mai mare. Dacă vreuna dintre verificări nu iese, soluția se respinge — la cazul ambiguu tocmai așa se elimină triunghiul care nu există.

Câte triunghiuri există dacă b are 8, unghiul A are 30 de grade, iar a are 3?

Aici $h = 8 \cdot sin 3 0^{\circ} = 4$ , iar $a = 3$ este mai mic decât $4$ . Latura din fața unghiului nu ajunge până la cealaltă dreaptă, deci nu se formează niciun triunghi. Răspunsul corect este zero, nu o soluție aproximativă.

Ce este cazul LUU și cu ce pornește rezolvarea lui?

Ai o latură, unghiul din fața ei și încă un unghi. Perechea completă există din start, deci teorema sinusurilor se aplică imediat, iar al treilea unghi se obține din suma de $18 0^{\circ}$ . Soluția este una singură, fără discuții suplimentare.

Când are cazul LLU o singură soluție, deși unghiul dat este ascuțit?

Atunci când latura din fața unghiului este cel puțin egală cu cealaltă latură cunoscută. În acea situație una dintre cele două intersecții cade de partea greșită a vârfului și nu produce un triunghi valabil, deci rămâne un singur răspuns.

Oamenii mai întreabă și: cazul ambiguu la teorema sinusurilor · de ce ies două soluții la LLU · câte triunghiuri corespund unor date · cazul ULU și cazul LLU · două laturi și un unghi nealăturat