Ce este schema bilei nerevenite?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Schema hipergeometrică (bila nerevenită)

Este modelul pentru extragerile în care obiectul scos rămâne afară, așa că șansa de reușită nu mai este aceeași la fiecare pas. Într-o urnă care are $a$ bile albe alături de $b$ negre, scoțând $n$ bile, probabilitatea de a avea exact $k$ albe este $P (k) = \frac{C _{a}^{k} \cdot C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}}$ . Pentru $4$ albe, $6$ negre și trei bile extrase, exact două albe au probabilitatea $\frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{3}{10}$ .

Schema bilei nerevenite (hipergeometrică) apare la extrageri fără revenire: obiectul scos rămâne afară, deci probele nu mai sunt independente și probabilitatea de succes se schimbă de la o extragere la alta — formula lui Bernoulli nu se mai aplică.

Ideea salvatoare: rezultatul unei extrageri de $n$ bile dintr-o urnă cu $a$ albe și $b$ negre este pur și simplu o submulțime de $n$ bile, iar toate submulțimile sunt egal probabile. Revenim astfel la definiția clasică a probabilității: $P (k) = \frac{C _{a}^{k} \cdot C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}},$ valabilă pentru $k \leq a$ și $n - k \leq b$ ; în afara acestor limite, probabilitatea este $0$ .

Ordinea extragerilor nu contează — „simultan” și „pe rând, fără revenire” dau exact aceleași probabilități, deci se folosește mereu varianta cu combinări, mai scurtă. Suma probabilităților pe toate valorile lui $k$ este $1$ , pentru că submulțimile se împart, după numărul de bile albe, în grupe disjuncte care acoperă toate cele $C_{a + b}^{n}$ cazuri.

Recunoașterea în enunț: „fără revenire”, „simultan”, „se aleg $n$ persoane/piese” $\Rightarrow$ hipergeometrică; „cu revenire” $\Rightarrow$ Bernoulli.

De reținut

$P (k) = \frac{C _{a}^{k} C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}}$
valabilă pentru $k \leq a$ și $n - k \leq b$
„simultan” și „pe rând, fără revenire” dau același rezultat

Greșeala tipică

Se aplică formula lui Bernoulli la o extragere fără revenire. Aceasta cere o probabilitate de succes constantă, iar aici ea se schimbă după fiecare bilă scoasă din urnă.

Exerciții din această mini-lecție

O urnă conține $5$ bile albe și $3$ negre. Se extrag simultan $3$ bile. Care este probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe?
- a) $\frac{15}{28}$
- b) $\frac{5}{8}$
- c) $\frac{3}{8}$
- d) $\frac{5}{28}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{15}{28}$

Cazuri posibile: $C_{8}^{3} = 56$ . Cazuri favorabile: $C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{1} = 10 \cdot 3 = 30$ . Deci $P = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$ .
O urnă conține $6$ bile albe și $5$ negre. Câte submulțimi de $4$ bile se pot extrage simultan (numărul cazurilor posibile)?
- a) $55$
- b) $330$
- c) $165$
- d) $462$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $330$

Numărul cazurilor posibile este $C_{11}^{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 330$ , indiferent de câte dintre bile sunt albe sau negre.
Într-o comisie de $10$ profesori, $3$ predau informatică. Se aleg la întâmplare, simultan, $2$ dintre ei. Care este probabilitatea ca niciunul să nu predea informatică?
- a) $\frac{8}{15}$
- b) $\frac{1}{5}$
- c) $\frac{7}{15}$
- d) $\frac{21}{100}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{7}{15}$

Profesorii care nu predau informatică sunt $7$ . Cazuri posibile: $C_{10}^{2} = 45$ ; favorabile: $C_{7}^{2} = 21$ . $P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ .

Întrebări conexe

Ce formulă are schema hipergeometrică?

Se scrie $P (k) = \frac{C _{a}^{k} C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}}$ , unde $a$ și $b$ sunt numărul obiectelor din cele două categorii, iar $n$ câte se extrag. Numărătorul alege separat din fiecare categorie, iar numitorul numără toate grupele posibile de $n$ obiecte.

Ce stă la numitorul schemei bilei nerevenite?

Numărul tuturor grupelor de $n$ bile care se pot forma din toate bilele urnei, adică $C_{a + b}^{n}$ . Nu se pune $C_{a}^{n}$ și nici produsul din numărător; numitorul trebuie să numere toate rezultatele posibile ale extragerii.

De ce toate submulțimile de bile sunt egal probabile?

Pentru că bilele se aleg la întâmplare, fără nicio preferință, iar orice grup de $n$ bile are aceeași șansă să fie ales. De aceea problema se rezolvă cu definiția clasică a probabilității, numărând submulțimi în loc de a înmulți fracții.

Ce sumă dau probabilitățile pe toate valorile lui $k$ ?

Dau $1$ , fiindcă grupele de $n$ bile se împart, după câte albe conțin, în categorii disjuncte care acoperă toate cazurile. Verificarea aceasta prinde imediat o combinare calculată greșit sau un caz uitat la capetele intervalului.

Când dă schema fără revenire aproape același rezultat ca cea cu revenire?

Când urna are mult mai multe bile decât numărul extragerilor. Scoaterea câtorva nu schimbă simțitor proporțiile, așa că valorile ies apropiate de cele date de schema lui Bernoulli. La urne mici, cu zece sau douăzeci de bile, deosebirea se vede din primul calcul.

Cum calculez probabilitatea a două bile albe din cinci extrase?

Dintr-o urnă cu $4$ albe și $6$ negre, alegi două albe în $C_{4}^{2} = 6$ feluri și trei negre în $C_{6}^{3} = 20$ , deci $120$ de cazuri favorabile din $C_{10}^{5} = 252$ posibile. Probabilitatea este $\frac{120}{252} = \frac{10}{21}$ .

Oamenii mai întreabă și: schema bilei nerevenite · schema hipergeometrică · extragere fără revenire probabilitate · extragere simultană din urnă