Care dintre următoarele situații nu se poate modela prin schema lui Bernoulli?

extragerea a $$3$$ bile fără revenire dintr-o urnă

aruncarea unei monede de $$5$$ ori

controlul a $$6$$ piese produse independent, fiecare cu aceeași probabilitate de rebut

aruncarea unui zar de $$4$$ ori, numărând de câte ori apare fața $$6$$

Ce este schema lui Bernoulli?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Schema lui Bernoulli (bila revenită)

Este modelul pentru $n$ probe independente, la fel construite, fiecare cu doar două deznodăminte: succes, cu probabilitatea $p$ , și eșec, cu $q = 1 - p$ . Probabilitatea de a obține exact $k$ succese este $P (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ . Situația tipică este extragerea în care obiectul scos se întoarce în urnă, așa că raportul dintre culori rămâne neschimbat. La cinci aruncări de zar, probabilitatea de a obține exact două fețe cu $6$ este $C_{5}^{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3}$ .

Schema bilei revenite (Bernoulli) modelează $n$ probe independente, identice, cu doar două rezultate — succes (probabilitate $p$ ) și eșec ( $q = 1 - p$ ) — la fel la fiecare probă. Modelul concret: extrageri cu revenire, unde bila se pune înapoi și compoziția urnei nu se schimbă.

Formula: $P (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ , unde $p^{k} q^{n - k}$ este probabilitatea unui singur șir de rezultate, iar $C_{n}^{k}$ numără câte șiruri cu exact $k$ succese există (pozițiile succeselor printre cele $n$ probe).

Control: $k = 0 \sum n C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = (p + q)^{n} = 1$ , prin binomul lui Newton — de aici numele de schemă binomială. Pentru $p = q = \frac{1}{2}$ , probabilitățile sunt proporționale cu o linie din triunghiul lui Pascal.

„Cel puțin un succes” se calculează cel mai repede prin evenimentul contrar: $1 - q^{n}$ . „Cel mult $k$ ” și „cel puțin $k$ ” sunt sume de termeni consecutivi. Schema NU se aplică la extrageri fără revenire — acolo $p$ se schimbă de la o probă la alta, iar formula potrivită este schema hipergeometrică.

Enunțul dă de obicei compoziția urnei, nu direct pe $p$ : dintr-o urnă cu $a$ albe și $b$ negre, $p = \frac{a}{a + b}$ . Numărul total de bile din urnă nu mai apare nicăieri altundeva în formulă — două urne diferite cu același raport dau exact aceleași probabilități, spre deosebire de schema hipergeometrică, unde numărul efectiv de bile contează.

De reținut

$P (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ , cu $q = 1 - p$
control: $\sum_{k} P (k) = (p + q)^{n} = 1$
cel puțin un succes: $1 - q^{n}$

Greșeala tipică

Se scrie doar produsul $p^{k} q^{n - k}$ , fără combinare. Acel produs este probabilitatea unei singure ordini de apariție a succeselor, deci rezultatul iese de $C_{n}^{k}$ ori mai mic decât cel corect.

Exerciții din această mini-lecție

Dintr-o urnă cu $3$ bile albe și $1$ neagră se fac $4$ extrageri cu revenire. Care este probabilitatea de a obține exact $3$ bile albe?
- a) $\frac{27}{64}$
- b) $\frac{9}{16}$
- c) $\frac{81}{256}$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{27}{64}$

$p = \frac{3}{4}$ , $q = \frac{1}{4}$ , $n = 4$ , $k = 3$ : $P (3) = C_{4}^{3} (\frac{3}{4})^{3} (\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64}$ .
Care dintre următoarele situații nu se poate modela prin schema lui Bernoulli?
- a) aruncarea unei monede de $5$ ori
- b) extragerea a $3$ bile fără revenire dintr-o urnă
- c) controlul a $6$ piese produse independent, fiecare cu aceeași probabilitate de rebut
- d) aruncarea unui zar de $4$ ori, numărând de câte ori apare fața $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) extragerea a $3$ bile fără revenire dintr-o urnă

La extragerea fără revenire, probabilitatea de succes se schimbă de la o extragere la alta, iar probele nu mai sunt independente — condițiile schemei lui Bernoulli cad. Acolo se folosește schema hipergeometrică, cu combinări.
Dintr-o urnă cu $1$ bilă albă și $4$ negre se fac $3$ extrageri cu revenire. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o bilă albă?
- a) $\frac{64}{125}$
- b) $\frac{1}{5}$
- c) $\frac{61}{125}$
- d) $\frac{3}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{61}{125}$

$p = \frac{1}{5}$ , $q = \frac{4}{5}$ , $n = 3$ . Prin evenimentul contrar, $P (\geq 1) = 1 - P (0) = 1 - (\frac{4}{5})^{3} = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}$ .

Întrebări conexe

Ce formulă are schema bilei revenite?

Se scrie $P (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ , unde $p^{k} q^{n - k}$ este probabilitatea unui șir anume de rezultate, iar combinarea numără în câte feluri pot fi așezate succesele printre cele $n$ probe. Cei doi exponenți se adună întotdeauna la $n$ .

Cum aflu $p$ din compoziția unei urne?

Împarți numărul obiectelor considerate succes la numărul total. Într-o urnă care are $3$ bile albe alături de $7$ negre, extragerea unei bile albe are $p = \frac{3}{10}$ . Valoarea rămâne aceeași la fiecare probă, tocmai fiindcă bila se întoarce înăuntru.

Ce exponent are $p$ și ce exponent are $q$ ?

Probabilitatea succesului se ridică la numărul succeselor, iar cea a eșecului la numărul eșecurilor, adică la $n - k$ . Controlul rapid este suma exponenților, care trebuie să dea numărul de probe; dacă nu iese, i-ai inversat.

Contează numărul total de bile la schema lui Bernoulli?

Nu, contează doar raportul. O urnă cu $3$ albe din $10$ și una cu $30$ albe din $100$ dau exact aceleași probabilități, fiindcă în formulă intră numai $p$ . La schema fără revenire lucrurile stau altfel, acolo numărul efectiv de bile schimbă rezultatul.

Cum calculez probabilitatea de „cel mult două succese”?

Aduni termenii pentru $k = 0$ , $k = 1$ și $k = 2$ , fiindcă aceste cazuri sunt disjuncte. Dacă $n$ este mare, e adesea mai scurt să calculezi contrarul, adică „cel puțin trei succese”, și să scazi rezultatul din $1$ .

Ce condiții trebuie să îndeplinească probele la schema binomială?

Să fie independente între ele, să aibă aceeași probabilitate de succes și să existe doar două deznodăminte posibile la fiecare. Dacă una dintre cerințe cade, formula nu se mai aplică, iar modelul potrivit devine schema hipergeometrică sau cea a lui Poisson.

Oamenii mai întreabă și: schema lui Bernoulli · schema bilei revenite · formula binomială la probabilități · extragere cu revenire schema