Ce reprezintă ultimul număr din rândul de jos al schemei lui Horner?

restul împărțirii, egal cu $$f(a)$$

coeficientul dominant al câtului

coeficientul dominant al lui $$f$$

Cum se completează schema lui Horner?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Tabelul care dă și câtul, și restul

Scrii pe primul rând toți coeficienții polinomului, în ordine descrescătoare, punând $0$ acolo unde un termen lipsește. Pe al doilea rând cobori neschimbat primul coeficient; pentru fiecare număr de după iei coeficientul de deasupra și îi adaugi produsul dintre $a$ și vecinul din stânga. Pentru $f = X^{3} - 2 X + 1$ și $a = 2$ ies numerele $1$ , $2$ , $2$ , $5$ : câtul este $X^{2} + 2 X + 2$ , iar restul $5$ .

Schema lui Horner obține, dintr-un singur tabel, atât câtul, cât și restul împărțirii unui polinom $f$ la $X - a$ — fără nicio scădere de monoame și, deci, fără greșeli de semn. În rândul de sus se scriu toți coeficienții lui $f$ , în ordine descrescătoare, inclusiv zerourile termenilor lipsă; numărul lor trebuie să fie exact $grad f + 1$ . În rândul de jos, primul număr se coboară neschimbat, iar fiecare număr următor este coeficientul de deasupra plus $a$ înmulțit cu numărul din stânga.

Regula se deduce identificând coeficienții în $f = (X - a) q + r$ : relațiile $b_{n - 1} = a_{n}$ și $b_{k - 1} = a_{k} + a \cdot b_{k}$ arată de ce restul se calculează exact ca un coeficient în plus, aplicat termenului liber. Ultimul număr din tabel este restul și, conform teoremei restului, este $f (a)$ — de aceea schema este și cea mai rapidă metodă de evaluare a unui polinom într-un punct.

Schema funcționează pentru orice $a$ : întreg, negativ, fracționar sau complex, dar numai pentru împărțitori de forma $X - a$ . Aplicată de mai multe ori la rând, tabel după tabel, descompune un polinom în factori de gradul întâi și dezvăluie rădăcinile multiple.

De reținut

primul coeficient se coboară neschimbat
următorul $=$ coeficientul de sus $+ a \times$ vecinul
ultimul număr este restul, adică $f (a)$

Greșeala tipică

Se sar zerourile termenilor lipsă, iar coloanele se decalează: tot tabelul ajunge să calculeze pentru alt polinom. Numără coeficienții înainte de a începe și completează golurile.

Exerciții din această mini-lecție

Ce reprezintă ultimul număr din rândul de jos al schemei lui Horner?
- a) restul împărțirii, egal cu $f (a)$
- b) coeficientul dominant al câtului
- c) gradul câtului
- d) coeficientul dominant al lui $f$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) restul împărțirii, egal cu $f (a)$

Toate celelalte numere din rândul de jos, în afară de ultimul, sunt coeficienții câtului. Ultimul este restul împărțirii la $X - a$ , iar din teorema restului acesta este exact $f (a)$ .
Folosind schema lui Horner cu $a = 3$ , determină câtul împărțirii lui $f = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X - 5$ la $X - 3$ (atenție la termenul lipsă în $X^{2}$ ).
- a) $X^{3} - X^{2} + 3 X + 12$
- b) $X^{3} + X^{2} + 3 X + 12$
- c) $X^{3} + X^{2} - 3 X + 12$
- d) $X^{3} + 2 X^{2} + 3 X + 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $X^{3} + X^{2} + 3 X + 12$

Coeficienții sunt $1, - 2, 0, 3, - 5$ . Cu $a = 3$ : $1$ ; $- 2 + 3 \cdot 1 = 1$ ; $0 + 3 \cdot 1 = 3$ ; $3 + 3 \cdot 3 = 12$ ; $- 5 + 3 \cdot 12 = 31$ . Câtul este $X^{3} + X^{2} + 3 X + 12$ , restul $31$ .
Arătați, cu schema lui Horner, că $- 2$ este rădăcină a lui $f = 3 X^{3} + 4 X^{2} - X + 6$ și precizați câtul.
- a) $3 X^{2} - 2 X - 3$
- b) $3 X^{2} + 2 X + 3$
- c) $3 X^{2} - 2 X + 3$
- d) $3 X^{2} + 2 X - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 X^{2} - 2 X + 3$

Coeficienții $3, 4, - 1, 6$ , cu $a = - 2$ : $3$ ; $4 + (- 2) \cdot 3 = - 2$ ; $- 1 + (- 2) (- 2) = 3$ ; $6 + (- 2) \cdot 3 = 0$ . Restul $0$ confirmă rădăcina, iar câtul este $3 X^{2} - 2 X + 3$ .

Întrebări conexe

Câte numere trebuie să aibă rândul de sus al tabelului?

Exact cu unul mai multe decât gradul polinomului, adică $grad f + 1$ . Numărătoarea se face înainte de orice calcul, pentru că o coloană lipsă mută tot tabelul și îl transformă în calculul altui polinom. Termenii absenți primesc coeficientul $0$ .

Cum aplic schema lui Horner cu $a$ fracționar?

La fel ca la numere întregi, doar că înmulțirile dau fracții. Pentru $f = 2 X^{2} - 3 X + 1$ și $a = \frac{1}{2}$ obții $2$ ; apoi $- 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 = - 2$ ; apoi $1 + \frac{1}{2} \cdot (- 2) = 0$ . Restul nul arată că $\frac{1}{2}$ este rădăcină, iar câtul este $2 X - 2$ .

Ce grad are câtul obținut cu schema lui Horner?

Are gradul cu unu mai mic decât al polinomului împărțit, fiindcă împărțitorul are gradul $1$ . Practic, din numerele de pe rândul de jos iei toate în afară de ultimul, care este restul, și le citești drept coeficienți în ordine descrescătoare.

Cum descompun un polinom aplicând schema de mai multe ori?

După ce ai găsit o rădăcină și restul a ieșit zero, reiei tabelul pe coeficienții câtului, cu aceeași valoare sau cu alta. Fiecare rest nul scoate încă un factor de gradul întâi, iar la final rămâne un polinom mic, de obicei un trinom care se rezolvă cu discriminantul.

Pot folosi schema lui Horner cu un $a$ complex?

Da, regula nu cere ca numărul să fie real. Înmulțirile se fac după regulile numerelor complexe, ținând minte că $i^{2} = - 1$ . Metoda este utilă mai ales când verifici dacă o rădăcină complexă anulează un polinom cu coeficienți reali.

Câte înmulțiri face schema față de calculul direct al valorii?

Pentru un polinom de gradul $n$ face exact $n$ înmulțiri și $n$ adunări, în timp ce înlocuirea directă cere ridicări la putere pentru fiecare termen. De aceea metoda este folosită și în programele de calculator, unde numărul de operații contează.

Oamenii mai întreabă și: schema lui Horner · cum se face schema lui Horner · tabelul lui Horner · împărțirea cu schema lui Horner