Care este principala diferență dintre schema lui Poisson și schema lui Bernoulli?

La schema lui Poisson probabilitățile de succes diferă de la o probă la alta, pe când la Bernoulli $$p$$ este constant

La schema lui Poisson probele nu sunt independente

La schema lui Poisson se folosește doar termenul liber al polinomului

Nu există nicio diferență, sunt sinonime

Ce este schema lui Poisson?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Schema lui Poisson: produsul de binoame

Este modelul pentru $n$ probe independente la care șansa de reușită diferă de la o probă la alta, fiind $p_{i}$ la proba cu numărul $i$ . Ca să afli cât de probabile sunt exact $k$ succese, citești coeficientul lui $x^{k}$ din produsul $Q (x) = \prod (p_{i} x + q_{i})$ , cu $q_{i} = 1 - p_{i}$ . Pentru două probe cu $p_{1} = \frac{1}{2}$ și $p_{2} = \frac{1}{3}$ obții $\frac{1}{6} (x + 1) (x + 2)$ , deci $P (2) = \frac{1}{6}$ , $P (1) = \frac{1}{2}$ și $P (0) = \frac{1}{3}$ .

Schema lui Poisson modelează $n$ probe independente în care fiecare probă are probabilitatea ei de succes $p_{i}$ , diferită de la o probă la alta (spre deosebire de Bernoulli, unde $p$ e constant). Nu este distribuția Poisson din facultate — formula ei nu apare în programa de liceu.

Regula: probabilitatea de a obține exact $k$ succese este coeficientul lui $x^{k}$ din produsul $Q (x) = i = 1 \prod n (p_{i} x + q_{i}), q_{i} = 1 - p_{i} .$ Desfăcând parantezele, fiecare termen al dezvoltării corespunde unui scenariu complet al experimentului, iar puterea lui $x$ numără succesele lui.

Control obligatoriu: suma coeficienților este $Q (1) = \prod (p_{i} + q_{i}) = 1$ . Termenul liber $q_{1} q_{2} \dots q_{n}$ este probabilitatea niciunui succes, iar produsul $p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ este probabilitatea tuturor succeselor; de aici, $P (cel pu ț in un succes) = 1 - q_{1} q_{2} \dots q_{n}$ , fără să desfaci nimic.

Bernoulli este cazul particular cu toate $p_{i}$ egale: atunci $Q (x) = (p x + q)^{n}$ , iar coeficientul lui $x^{k}$ redă exact $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ .

În practică, se scot mai întâi factorii comuni din fiecare paranteză — de exemplu $(\frac{3}{4} x + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} (3 x + 1)$ —, astfel încât desfacerea produsului să se facă cu paranteze de forma $(a x + b)$ , cu $a, b$ numere întregi. Verificarea prin suma coeficienților prinde imediat orice greșeală de calcul din înmulțire.

De reținut

$Q (x) = \prod (p_{i} x + q_{i})$ ; $P (k)$ este coeficientul lui $x^{k}$
control: $Q (1) = 1$
Bernoulli este cazul cu toate $p_{i}$ egale

Greșeala tipică

Se așază probabilitatea eșecului lângă nedeterminată și cea a succesului ca termen liber. Polinomul iese atunci citit invers, iar toate răspunsurile se încurcă între ele.

Exerciții din această mini-lecție

Două probe independente au probabilitățile de succes $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ . Care este probabilitatea de a obține exact un succes?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{1}{8}$
- c) $\frac{3}{8}$
- d) $\frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{2}$

Produsul este $(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) = \frac{1}{8} (x + 1) (x + 3) = \frac{1}{8} (x^{2} + 4 x + 3)$ . Coeficientul lui $x$ este $4$ , deci $P (1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
Care este principala diferență dintre schema lui Poisson și schema lui Bernoulli?
- a) La schema lui Poisson probele nu sunt independente
- b) La schema lui Poisson probabilitățile de succes diferă de la o probă la alta, pe când la Bernoulli $p$ este constant
- c) La schema lui Poisson se folosește doar termenul liber al polinomului
- d) Nu există nicio diferență, sunt sinonime
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) La schema lui Poisson probabilitățile de succes diferă de la o probă la alta, pe când la Bernoulli $p$ este constant

La Bernoulli toate probele au aceeași probabilitate de succes $p$ , deci se aplică $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ . La Poisson fiecare probă $i$ are propria probabilitate $p_{i}$ , iar probabilitatea de $k$ succese se citește ca și coeficientul lui $x^{k}$ din $\prod (p_{i} x + q_{i})$ . Bernoulli este cazul particular al lui Poisson, cu toate $p_{i}$ egale.
Trei probe independente au probabilitățile de succes $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ . Care este probabilitatea de a obține exact $2$ succese?
- a) $\frac{1}{9}$
- b) $\frac{2}{18}$
- c) $\frac{7}{18}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{7}{18}$

Scoatem factorii comuni: $(\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) = \frac{1}{18} (2 x + 1) (x + 1) (x + 2)$ . Desfăcând, $(2 x + 1) (x + 1) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ , apoi $(2 x^{2} + 3 x + 1) (x + 2) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 7 x + 2$ . Coeficientul lui $x^{2}$ este $7$ , deci $P (2) = \frac{7}{18}$ .

Întrebări conexe

Ce produs se scrie la schema lui Poisson?

Câte o paranteză pentru fiecare probă, de forma $p_{i} x + q_{i}$ , toate înmulțite între ele. Probabilitatea succesului stă lângă nedeterminată, iar cea a eșecului este termenul liber. Desfăcând produsul, fiecare termen corespunde unui scenariu complet al experimentului.

Coeficientul cărei puteri dă probabilitatea a $k$ succese?

Coeficientul lui $x^{k}$ , fiindcă exponentul numără câte paranteze au contribuit cu termenul de succes. Dacă enunțul cere un număr de eșecuri, îl transformi întâi în număr de succese și abia apoi citești coeficientul potrivit.

Cum calculez probabilitatea de cel puțin un succes la schema lui Poisson?

Scazi din $1$ termenul liber al produsului, adică $q_{1} q_{2} \dots q_{n}$ , care este chiar probabilitatea de a nu avea niciun succes. Nu ai nevoie să desfaci parantezele: înmulțești doar probabilitățile de eșec și scazi rezultatul din unu.

Ce reprezintă produsul tuturor probabilităților de succes?

Este coeficientul termenului de grad maxim, deci probabilitatea ca toate probele să reușească. Se citește direct, fără desfacerea produsului, la fel ca termenul liber, care dă probabilitatea niciunui succes.

Cum scot factori comuni din parantezele schemei lui Poisson?

Din fiecare paranteză scoți numitorul comun al celor două fracții: $\frac{3}{4} x + \frac{1}{4}$ devine $\frac{1}{4} (3 x + 1)$ . Rămâne un produs de paranteze cu numere întregi, mult mai ușor de desfăcut, iar constantele se înmulțesc separat la final.

Este schema lui Poisson de la liceu aceeași cu distribuția Poisson?

Nu. Schema din programa de liceu numără succese la probe cu probabilități diferite, folosind un produs de paranteze. Distribuția Poisson studiată mai târziu descrie cu totul altceva și are o formulă care nu apare la clasa a zecea.

Oamenii mai întreabă și: schema lui Poisson · probabilități diferite la fiecare probă · coeficientul lui x la puterea k · produs de paranteze la probabilități