Cum se redactează o problemă de probabilități?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sinteză finală clasa a X-a: probleme tip Bacalaureat

Scrii pe rând ce înseamnă evenimentul, cum ai numărat cazurile posibile, cum ai numărat cele favorabile și abia apoi fracția, simplificată. Baremul punctează fiecare dintre acești pași, nu doar rezultatul final: o cifră corectă, scrisă singură, rămâne fără punctele acordate pentru scrierea formulei, pentru descrierea cazurilor și pentru argument. Precizezi și modelul de extragere ales, fiindcă el explică de ce ai folosit combinări sau produse.

Materia comună a clasei a X-a — trigonometrie în geometrie, numărare, statistică și probabilități — se întâlnește la examen în probleme scurte, gradate pe trei subpuncte, unde niciun capitol nu vine anunțat. Puntea cea mai frecventă leagă numărarea de probabilitate: cazurile posibile și cele favorabile se numără cu aceeași metodă (de obicei combinări, la extrageri simultane), apoi se împart. O altă punte leagă statistica de probabilitate: un tabel de frecvențe este și un tabel de cazuri favorabile, pentru că $P (X = v_{i}) = \frac{n _{i}}{n} = f_{i}$ .

Din trigonometrie rămân active teorema cosinusului, $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , și teorema sinusurilor, $\frac{a}{sin A} = 2 R$ , aplicate mai ales în lanțul „aria – latura – raza cercului circumscris". Din statistică, o comparație între două seturi de date se face în trei mișcări: centru (medie, mediană), împrăștiere ( $σ$ , IQR) și o concluzie formulată în contextul problemei — „mai omogen" nu înseamnă automat „mai bun". Redactarea contează la fel de mult ca rezultatul: se scriu explicit condiția aleasă, cazurile favorabile și cele posibile, iar fracția finală se simplifică.

De reținut

scrie evenimentul, posibilele, favorabilele, apoi fracția
precizează modelul de extragere
tabel de frecvențe: $P (X = v_{i}) = f_{i}$

Greșeala tipică

Se scrie doar rezultatul, fără justificări. Chiar corect fiind, el primește o mică parte din punctaj, fiindcă restul se acordă pentru formulă, pentru numirea cazurilor și pentru argumentarea alegerii metodei.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi, o latură are lungimea $10$ , iar unghiul opus ei are măsura $3 0^{\circ}$ . Calculați raza cercului circumscris triunghiului.
- a) $5$
- b) $20$
- c) $10$
- d) $103$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $10$

Din teorema sinusurilor, $R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10$ . Varianta b) este raportul $\frac{a}{sin A} = 2 R = 20$ , confundat cu raza (uitarea împărțirii la $2$ ), iar varianta a) apare dintr-un calcul greșit al lui $sin 3 0^{\circ}$ .
O mulțime are $12$ elemente. Câte submulțimi cu $5$ elemente are ea?
- a) $66$
- b) $95040$
- c) $792$
- d) $1584$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $792$

O submulțime nu are ordine, deci se numără cu combinări: $C_{12}^{5} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792$ . Varianta a) este $C_{12}^{2}$ , varianta b) este $A_{12}^{5}$ (numărare cu ordine), iar varianta d) dublează greșit rezultatul corect.
Din mulțimea $M = {1, 2, \dots, 10}$ se alege la întâmplare o submulțime cu $2$ elemente. Calculați probabilitatea ca ambele elemente să fie numere impare.
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{2}{9}$
- c) $\frac{5}{9}$
- d) $\frac{1}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{2}{9}$

În $M = {1, \dots, 10}$ sunt $5$ numere impare, deci cazurile favorabile sunt $C_{5}^{2} = 10$ , iar cazurile posibile $C_{10}^{2} = 45$ . Prin urmare $P = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}$ . Variantele a) și c) apar din estimări greșite ale proporției fără a folosi corect combinările la ambele etaje.

Întrebări conexe

Ce punte leagă numărarea de probabilitate la examen?

Aceeași metodă numără ambele etaje ale fracției: dacă extragerea este simultană, cazurile posibile ies cu combinări, iar cele favorabile tot cu combinări. Cerințele de numărare de la primul subpunct pregătesc, de obicei, chiar probabilitatea cerută la ultimul.

Ce afirmații se punctează la o problemă de probabilități?

Descrierea evenimentului, numărul cazurilor posibile cu justificare, numărul cazurilor favorabile cu justificare și raportul final. Sunt patru afirmații punctabile, nu una singură, motiv pentru care un rezultat corect fără redactare pierde majoritatea punctelor.

Ce se cere într-o problemă de comparare a două seturi de date?

Un indicator de poziție, unul de împrăștiere și o concluzie formulată în contextul enunțului. Fără al treilea element, lucrarea rămâne un șir de calcule; fără al doilea, comparația este incompletă, oricât de corect ar fi calculată media.

Ce teoreme de trigonometrie rămân active la examen?

Teorema cosinusului și teorema sinusurilor, folosite mai ales în lanțul arie–latură–rază a cercului circumscris. Alături de ele apar formula ariei cu sinus și formula lui Heron, între care se alege după datele primite în enunț.

De ce trebuie simplificată fracția finală a unei probabilități?

Fiindcă forma cea mai simplă este cea așteptată în barem și se compară ușor cu alte rezultate. În plus, simplificarea scoate la iveală greșelile: o fracție care nu se reduce deloc, deși numerele proveneau din combinări, e adesea semn de calcul greșit.

Ce înseamnă că o problemă este gradată pe trei subpuncte?

Că primul cere un calcul direct, al doilea folosește rezultatul lui, iar al treilea cere o legătură între capitole. Chiar dacă te blochezi la primul, poți scrie metoda la următoarele: baremul punctează separat fiecare subpunct.

Oamenii mai întreabă și: cum redactez o problemă de probabilități · ce se punctează la Bacalaureat la probabilități · redactarea unei probleme de statistică · probleme de tip Bacalaureat clasa a X-a