O urnă conține $$5$$ bile albe și $$4$$ bile negre. Se extrag simultan $$3$$ bile. Ce schemă de probabilitate se folosește pentru a calcula probabilitatea ca exact $$2$$ să fie albe?

schema hipergeometrică (bila nerevenită, cu combinări)

schema lui Bernoulli, $$C_n^kp^kq^{n-k}$$

schema lui Poisson, coeficientul lui $$x^k$$ din $$\prod(p_ix+q_i)$$

regula produsului, cu repetiție

Ce punți leagă capitolele la Bacalaureatul M1?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sinteză finală mate-info: probleme tip Bacalaureat M1

Sunt patru, aproape mereu aceleași. Numerele complexe intră în polinoame prin rădăcinile conjugate și prin relațiile lui Viète. Exponențialele și logaritmii ajung la ecuații de gradul al doilea printr-o substituție. Numărarea trece în probabilități, unde un cuvânt din enunț alege schema potrivită. Binomul lui Newton se întâlnește cu numerele complexe atunci când pui unitatea imaginară în locul unuia dintre termeni și separi părțile reală și imaginară.

Algebra clasei a X-a de la mate-info se întâlnește la examen prin patru punți, aproape întotdeauna aceleași. Complexe → polinoame: o rădăcină nereală a unui polinom cu coeficienți reali vine la pachet cu conjugata ei, iar relațiile lui Viète dau adesea a treia rădăcină fără nicio împărțire. Exponențiale/logaritmi → ecuații algebrice: substituția $t = a^{x}$ (cu $t > 0$ ) sau $t = lo g_{a} x$ (fără restricție de semn) transformă o ecuație „exotică" într-una de gradul al doilea. Numărare → probabilități: un singur cuvânt din enunț alege schema — „simultan" înseamnă hipergeometrică (cu combinări), „cu revenire" înseamnă Bernoulli, $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ , iar probabilitățile diferite de la o probă la alta cer schema lui Poisson, egală cu coeficientul lui $x^{k}$ din produsul $\prod (p_{i} x + q_{i})$ . Binomul lui Newton → complexe: punând $b = i$ în $(a + b)^{n}$ și separând părțile reală și imaginară obții sume alternante de combinări.

Baremul punctează pașii, nu doar rezultatul: condițiile de existență, respingerea motivată, reducerea argumentului la $[0, 2 π)$ și precizarea modelului de extragere se scriu explicit, întotdeauna.

De reținut

complexe $\to$ polinoame: rădăcini conjugate și Viète
substituție $t = a^{x}$ , cu $t > 0$
„simultan” cere combinări, „cu revenire” cere Bernoulli

Greșeala tipică

Cazurile favorabile sunt numărate cu combinări, iar cele posibile cu regula produsului. Raportul iese fals, uneori chiar mai mare decât $1$ ; ambele etaje se numără în același model.

Exerciții din această mini-lecție

Polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 20$ are coeficienți reali și rădăcina $2 + 4 i$ . Care este a treia rădăcină a lui $f$ ?
- a) $20$
- b) $- 1$
- c) $4$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Coeficienții fiind reali, și $2 - 4 i$ este rădăcină. Produsul perechii conjugate este $(2 + 4 i) (2 - 4 i) = 4 + 16 = 20$ . Din Viète, produsul tuturor celor trei rădăcini este $- \frac{- 20}{1} = 20$ (varianta a este chiar acest produs total, nu rădăcina cerută), deci a treia rădăcină este $\frac{20}{20} = 1$ .
Ecuația $l g^{2} x - l g x - 6 = 0$ are două soluții reale, $x_{1}$ și $x_{2}$ . Calculați produsul $x_{1} \cdot x_{2}$ .
- a) $1000$
- b) $0, 01$
- c) $100$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $10$

Notăm $t = l g x$ (fără condiție de semn pe $t$ ): $t^{2} - t - 6 = 0$ , cu soluțiile $t = 3$ și $t = - 2$ . Revenim: $x_{1} = 1 0^{3} = 1000$ (varianta a) și $x_{2} = 1 0^{- 2} = 0, 01$ (varianta b). Produsul este $x_{1} x_{2} = 1 0^{t_{1} + t_{2}} = 1 0^{3 + (- 2)} = 1 0^{1} = 10$ .
O urnă conține $5$ bile albe și $4$ bile negre. Se extrag simultan $3$ bile. Ce schemă de probabilitate se folosește pentru a calcula probabilitatea ca exact $2$ să fie albe?
- a) schema lui Bernoulli, $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
- b) schema lui Poisson, coeficientul lui $x^{k}$ din $\prod (p_{i} x + q_{i})$
- c) schema hipergeometrică (bila nerevenită, cu combinări)
- d) regula produsului, cu repetiție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) schema hipergeometrică (bila nerevenită, cu combinări)

Extragerea simultană (fără revenire) dintr-o urnă cu două categorii de bile este semnul schemei hipergeometrice: $P (k) = \frac{C _{a}^{k} \cdot C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}}$ . Schema lui Bernoulli (varianta a) s-ar aplica dacă extragerile ar fi cu revenire, iar schema lui Poisson (varianta b) dacă probabilitățile de succes ar diferi de la o probă la alta — situație care nu apare aici, unde toate bilele provin din aceeași urnă.

Întrebări conexe

Cum trec de la o rădăcină nereală la a treia rădăcină a ecuației?

Adaugi conjugata, fiindcă polinomul are coeficienți reali, apoi folosești suma rădăcinilor din relațiile lui Viète. Cele două rădăcini conjugate se adună la un număr real, iar a treia iese prin scădere, fără nicio împărțire.

Ce obțin punând $b = i$ în binomul lui Newton?

Obții o dezvoltare în care puterile unității imaginare se repetă din patru în patru, deci termenii se grupează în două sume: una reală și una imaginară. Separându-le, ies identități cu sume alternante de combinări, cerute des la subiectul al treilea.

Ce substituție transformă o ecuație exponențială în una de gradul al doilea?

Notarea $t = a^{x}$ , cu condiția $t > 0$ , atunci când în ecuație apar $a^{2 x}$ și $a^{x}$ . Similar, $t = lo g_{a} x$ transformă o ecuație logaritmică, dar acolo nu se pune nicio restricție de semn asupra lui $t$ .

Ce se punctează în barem în afara rezultatului final?

Scrierea condițiilor de existență, respingerea motivată a valorilor nepotrivite, reducerea argumentului unui număr complex la intervalul cerut și precizarea modelului de extragere la probabilități. Fiecare dintre ele are punctajul lui, independent de răspunsul final.

De ce trebuie redus argumentul unui număr complex?

Ca scrierea trigonometrică să fie cea standard, cu unghiul luat din $[0, 2 π)$ . După o ridicare la putere cu formula lui Moivre, argumentul obținut depășește de obicei o tură completă, iar forma nereduse nu se potrivește cu baremul.

Ce fac după ce am găsit toate valorile substituției?

Te întorci la necunoscuta inițială pentru fiecare valoare păstrată, nu doar pentru prima. Fiecare valoare a substituției poate da una sau două soluții, iar omiterea unei întoarceri pierde jumătate din răspuns, chiar dacă rezolvarea a fost corectă până acolo.

Oamenii mai întreabă și: legături între capitole la Bacalaureat M1 · ce se dă la Bacalaureat M1 din clasa a zecea · punți între capitole la matematică · sinteză finală mate-info