Sinusul este abscisa sau ordonata?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sinus și cosinus ca abscisă/ordonată

Sinusul este ordonata, adică a doua coordonată a punctului asociat pe cercul trigonometric, iar cosinusul este abscisa, prima coordonată. Pentru punctul de coordonate $(0, 6; 0, 8)$ rezultă cosinus $0, 6$ și sinus $0, 8$ . Cum raza este unu, amândouă rămân între $- 1$ și $1$ , iar din ecuația cercului iese $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ .

Pentru un număr real $t$ , fie $M (t)$ punctul lui asociat pe cercul trigonometric. Definiție. Cosinusul lui $t$ este abscisa punctului $M (t)$ , iar sinusul lui $t$ este ordonata lui $M (t)$ : $M (t) = (cos t, sin t)$ .

Această definiție prelungește pe cea din triunghiul dreptunghic (rapoarte de laturi, valabile doar pentru unghiuri ascuțite): raza fiind $1$ , împărțirea la ipotenuză dispare, iar catetele triunghiului $O P M$ devin direct $cos t$ și $sin t$ .

Domeniul ambelor funcții este întreaga mulțime $R$ : $sin : R \to R$ , $cos : R \to R$ .

Valorile pe axe se citesc direct din coordonate: $cos 0 = 1$ , $sin 0 = 0$ ; $cos \frac{π}{2} = 0$ , $sin \frac{π}{2} = 1$ ; $cos π = - 1$ , $sin π = 0$ ; $cos \frac{3 π}{2} = 0$ , $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ .

Deoarece $M (t)$ se află pe cercul de rază $1$ , ambele funcții sunt mărginite: $- 1 \leq cos t \leq 1$ și $- 1 \leq sin t \leq 1$ , pentru orice $t \in R$ , iar mulțimea valorilor ambelor este exact $[- 1, 1]$ . Consecință utilă: egalități ca $sin t = 1, 2$ sunt imposibile, iar o expresie $a + b sin t$ ia valori între $a - ∣ b ∣$ și $a + ∣ b ∣$ .

În sfârșit, din ecuația cercului $x^{2} + y^{2} = 1$ , înlocuind $x = cos t$ , $y = sin t$ , obținem formula fundamentală $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ , valabilă pentru orice $t$ real — teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul $O P M$ cu ipotenuza $1$ .

De reținut

$M (t) = (cos t, sin t)$
$- 1 \leq sin t \leq 1$ și $- 1 \leq cos t \leq 1$
$sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ pentru orice $t$ real

Greșeala tipică

Se pun coordonatele invers și sinusul este citit ca abscisă; ține minte că perechea se scrie cu cosinusul înainte și cu sinusul după, exact ca abscisa înaintea ordonatei.

Exerciții din această mini-lecție

Prin definiție, cosinusul numărului real $t$ este:
- a) ordonata punctului $M (t)$
- b) abscisa punctului $M (t)$
- c) raza cercului trigonometric
- d) lungimea segmentului $O M$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) abscisa punctului $M (t)$

Din definiție, $M (t) = (cos t, sin t)$ : cosinusul este abscisa (prima coordonată), sinusul este ordonata (a doua). Varianta a) descrie de fapt sinusul; c) raza este mereu $1$ , indiferent de $t$ ; d) segmentul $O M$ are lungimea $1$ pentru orice punct de pe cerc, deci nu depinde de $t$ .
Mulțimea valorilor funcției $sin$ este:
- a) $R$
- b) $[0, 1]$
- c) $[- 1, 1]$
- d) $(- 1, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[- 1, 1]$

Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$ , deci nu poate ieși din intervalul $[- 1, 1]$ , iar fiecare valoare din acest interval chiar se atinge. Varianta a) ar însemna funcție nemărginită, fals; b) ar exclude greșit valorile negative (de exemplu $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ , o valoare negativă care arată că $[0, 1]$ e insuficient); d) exclude greșit capetele $- 1$ și $1$ , care se ating (la $t = \frac{3 π}{2}$ , respectiv $t = \frac{π}{2}$ ).
Care dintre următoarele egalități poate fi adevărată pentru un număr real $t$ ?
- a) $sin t = - 1$
- b) $cos t = 1, 2$
- c) $sin t = 2$
- d) $cos t = - 1, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $sin t = - 1$

Valoarea $- 1$ este posibilă și se atinge pentru $t = \frac{3 π}{2}$ (punctul $B^{'}$ ). Celelalte sunt imposibile, fiindcă ies din intervalul $[- 1, 1]$ : $1, 2 > 1$ , $2 > 1$ și $- 1, 5 < - 1$ — niciun punct de pe cercul de rază $1$ nu poate avea o coordonată în afara acestui interval.

Întrebări conexe

De ce sinusul unui unghi obtuz este pozitiv?

Pentru că punctul asociat unui asemenea unghi se află în al doilea cadran, deasupra axei orizontale, deci ordonata lui rămâne pozitivă. Cosinusul, în schimb, iese negativ, fiindcă abscisa cade în stânga originii. Așa se explică semnele diferite ale celor două.

Cum se schimbă sinusul când merg pe cerc de la 0 la pi supra 2?

Crește de la zero la unu, fiindcă punctul urcă de pe axa orizontală până în vârful cercului. Cosinusul face drumul invers, coborând de la unu la zero. Pe acest sfert de cerc, sinusul este strict crescător, iar cosinusul strict descrescător.

Cât este cosinusul lui zero?

Este $1$ , fiindcă punctul asociat lui zero este chiar punctul de plecare, aflat pe axa orizontală la distanța unu de origine. Sinusul aceluiași număr este zero, fiindcă punctul stă pe axă. Aceleași valori se obțin și după orice tură completă.

De ce sinusul și cosinusul nu pot depăși raza cercului?

Fiindcă amândouă sunt coordonate ale unui punct aflat la distanța unu de origine. O coordonată nu poate depăși distanța până la centru, altfel punctul ar ieși din cerc. De aceea egalități precum sinus egal cu $1, 2$ nu au soluții.

Ce înseamnă că sinusul este funcție de un număr real, nu doar de un unghi?

Înseamnă că se poate calcula pentru orice număr, nu doar pentru măsuri de unghiuri între zero și o tură. Numărul dat arată ce arc parcurgi pe cerc, în orice sens și oricâte ture. Așa au sens expresii ca sinus de $4$ sau sinus de $- 10$ .

Oamenii mai întreabă și: sinus ordonata cosinus abscisa · abscisa și ordonata pe cercul trigonometric · cum se definesc sinus și cosinus pe cerc · care coordonată este sinusul