Cum calculez sinusul unui unghi obtuz?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze

Un unghi obtuz se înlocuiește cu suplementul lui, care este ascuțit și apare în tabel: $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ . Sinusul nu își schimbă valoarea, deci rămâne pozitiv pentru orice unghi dintr-un triunghi. De exemplu, $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Cosinusul se poartă altfel: $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ , adică își schimbă semnul, așa că $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ . Regula ține pentru orice măsură cuprinsă între $9 0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ .

Definițiile din triunghiul dreptunghic se opresc la $9 0^{\circ}$ . Ca teorema cosinusului să funcționeze pentru orice triunghi — inclusiv cele cu un unghi obtuz — avem nevoie de sinus și cosinus pentru unghiuri din $(9 0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ .

Regula suplementului face extinderea: $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ , $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ și $tg (18 0^{\circ} - x) = - tg x$ . Practic, orice unghi obtuz se reduce la suplementul lui, care este ascuțit și se găsește în tabel.

Valorile exacte de memorat: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ , iar sinusurile lor rămân pozitive: $\frac{3}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{1}{2}$ .

Semnele pe $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ : sinusul este mereu pozitiv; cosinusul este pozitiv la unghi ascuțit, zero la $9 0^{\circ}$ și negativ la unghi obtuz — acesta este faptul central al lecției, folosit constant în teorema cosinusului. Formula $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ rămâne valabilă pentru orice unghi; la extragerea rădăcinii, semnul îl decide poziția unghiului.

O consecință importantă: cosinusul determină unghiul în mod unic din $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , dar sinusul nu — o valoare a sinusului corespunde la două unghiuri suplementare (de exemplu $3 0^{\circ}$ și $15 0^{\circ}$ ), ambiguitate ce revine în cazul LLU al rezolvării triunghiului.

De reținut

$sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$
$cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$
unghi obtuz: sinus pozitiv, cosinus negativ

Greșeala tipică

Se scrie $cos 12 0^{\circ} = + \frac{1}{2}$ , din obișnuința cu unghiurile ascuțite. Cosinusul unui unghi obtuz este negativ, deci valoarea corectă este $- \frac{1}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $cos 12 0^{\circ}$ ?
- a) $- \frac{1}{2}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $- \frac{3}{2}$
- d) $\frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{1}{2}$

$cos 12 0^{\circ} = - cos (18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Cât este $sin 15 0^{\circ}$ ?
- a) $- \frac{1}{2}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{2}{2}$
- d) $\frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{2}$

$sin 15 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 15 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Sinusul unui unghi obtuz rămâne pozitiv.
Dacă $x$ este un unghi obtuz, ce semn are $cos x$ ?
- a) depinde de $sin x$
- b) zero
- c) negativ
- d) pozitiv
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) negativ

Pe $(9 0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ cosinusul este întotdeauna negativ — este faptul-cheie folosit apoi în teorema cosinusului.

Întrebări conexe

Ce este regula suplementului în trigonometrie?

Suplementul unui unghi $x$ este $18 0^{\circ} - x$ . Regula spune că sinusul rămâne același, $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ , iar cosinusul și tangenta își schimbă semnul: $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ . Astfel orice unghi obtuz se aduce la unul ascuțit, pentru care valorile se citesc direct din tabel.

Cât face suma dintre cosinusul de 135 de grade și cosinusul de 45 de grade?

Cele două unghiuri sunt suplementare, deci cosinusurile lor sunt opuse: $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , iar $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ . Suma lor este $0$ . Același lucru se petrece la orice pereche de unghiuri care însumează $18 0^{\circ}$ : cosinusurile se anulează reciproc, în timp ce sinusurile rămân egale.

Cum aflu cosinusul unui unghi obtuz dacă îi cunosc sinusul?

Folosești relația fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , de unde $cos x = \pm 1 - sin^{2} x$ . Semnul îl hotărăște poziția unghiului: la unghi obtuz cosinusul este negativ, deci se păstrează varianta cu minus. De exemplu, dacă $sin x = \frac{3}{5}$ și $x$ este obtuz, atunci $cos x = - \frac{4}{5}$ .

Ce semn are tangenta unui unghi obtuz?

Tangenta unui unghi obtuz este negativă, pentru că $tg (18 0^{\circ} - x) = - tg x$ , iar tangenta unghiului ascuțit este pozitivă. Se vede și din raportul $\frac{sin x}{cos x}$ : numărătorul rămâne pozitiv, numitorul devine negativ, deci raportul iese negativ. La $9 0^{\circ}$ tangenta nu există, fiindcă numitorul s-ar anula.

Ce valori ia cosinusul între 0 și 180 de grade?

Cosinusul coboară continuu de la $1$ la $- 1$ : este pozitiv pe unghiurile ascuțite, se anulează exact la $9 0^{\circ}$ și devine negativ pe cele obtuze. Fiindcă parcurge fiecare valoare o singură dată, cosinusul stabilește complet unghiul dintr-un triunghi, spre deosebire de sinus, care ia aceeași valoare pentru două unghiuri suplementare.

Cum aflu suplementul unui unghi de 118 grade?

Scazi măsura din $18 0^{\circ}$ și obții $18 0^{\circ} - 11 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ . Suplementul iese întotdeauna ascuțit atunci când unghiul de plecare este obtuz. Atenție să nu îl confunzi cu complementul, care se obține scăzând din $9 0^{\circ}$ și apărea doar în triunghiul dreptunghic.

Oamenii mai întreabă și: sinus și cosinus la unghiuri obtuze · cât face sinus de 150 de grade · regula suplementului la sinus și cosinus · sinusul unui unghi mai mare de 90 de grade · cosinusul unghiului obtuz este negativ