Cum rezolv un sistem cu logaritmi?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sisteme cu exponențiale și logaritmi

Notezi fiecare logaritm cu o literă nouă și obții un sistem algebric obișnuit. Pentru $p = lo g_{a} x$ și $q = lo g_{a} y$ , întoarcerea $x = a^{p}$ dă automat numere pozitive, deci nu apar răspunsuri de respins. La sisteme exponențiale notezi $u = a^{x}$ și $v = b^{y}$ , ținând minte că amândouă trebuie să fie pozitive. De exemplu, din $lo g_{2} x + lo g_{2} y = 6$ și $lo g_{2} x - lo g_{2} y = 2$ ies $x = 16$ și $y = 4$ .

Un sistem cu exponențiale sau logaritmi se transformă, printr-o substituție potrivită, într-un sistem algebric obișnuit. La exponențiale, notezi $u = a^{x}$ , $v = b^{y}$ , reținând mereu că $u > 0$ și $v > 0$ — o valoare negativă a lui $u$ sau $v$ se respinge automat, fiindcă nicio putere reală nu poate fi negativă. La logaritmi, notezi $p = lo g_{a} x$ , $q = lo g_{a} y$ ; aici revenirea $x = a^{p}$ dă automat $x > 0$ , deci soluțiile străine sunt imposibile.

Multe sisteme ascund o structură «sumă și produs»: dacă $u + v = S$ și $uv = P$ (obținut, de pildă, din $x + y$ prin ridicare la putere), atunci $u$ și $v$ sunt rădăcinile ecuației $t^{2} - S t + P = 0$ , prin relațiile lui Viète.

În sistemele mixte (o ecuație algebrică, una logaritmică) condițiile de existență chiar elimină soluții — o pereche care verifică partea algebrică poate fi respinsă pentru că un logaritm din ea nu există. Când apare un produs de puteri cu baze prime distincte egal cu un număr dat, identifici exponenții prin unicitatea descompunerii în factori primi — regulă care nu se aplică dacă o bază e putere a celeilalte.

De reținut

exponențiale: $u = a^{x} > 0$ , $v = b^{y} > 0$
logaritmi: $p = lo g_{a} x$ , cu întoarcerea $x = a^{p}$
sumă $S$ și produs $P$ : rădăcinile lui $t^{2} - S t + P = 0$

Greșeala tipică

Se acceptă o valoare negativă pentru necunoscuta auxiliară dintr-un sistem exponențial și se caută exponentul care ar da-o. Puterile cu bază pozitivă nu coboară niciodată sub zero, deci acea valoare se respinge.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați sistemul ${2^{x} + 3^{y} = 13 2^{x} - 3^{y} = - 5$ .
- a) $(x, y) = (2, 2)$
- b) $(x, y) = (3, 1)$
- c) $(x, y) = (1, 3)$
- d) $(x, y) = (2, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x, y) = (2, 2)$

Notăm $u = 2^{x} > 0$ , $v = 3^{y} > 0$ : $u + v = 13$ , $u - v = - 5$ , deci $u = 4$ , $v = 9$ . Atunci $2^{x} = 4 \Rightarrow x = 2$ și $3^{y} = 9 \Rightarrow y = 2$ . Verificare: $4 + 9 = 13$ ✓, $4 - 9 = - 5$ ✓.
O soluție a sistemului ${2^{x} + 2^{y} = 12 x + y = 5$ este:
- a) $(1, 4)$
- b) $(2, 3)$
- c) $(0, 5)$
- d) $(6, - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2, 3)$

Din $x + y = 5$ rezultă $2^{x} \cdot 2^{y} = 2^{5} = 32$ ; cu $u + v = 12$ , $uv = 32$ , obținem $t^{2} - 12 t + 32 = 0$ , cu $t = 4$ sau $t = 8$ . Perechea $(x, y) = (2, 3)$ verifică: $4 + 8 = 12$ ✓, $2 + 3 = 5$ ✓. Celelalte variante nu satisfac prima ecuație (de exemplu, $2^{1} + 2^{4} = 18 \neq = 12$ ).
Rezolvați sistemul ${l g x + l g y = 2 x - y = 15$ , $x, y > 0$ . Care este soluția acceptabilă?
- a) $(5, 20)$
- b) $(- 5, - 20)$
- c) $(20, 5)$
- d) $(25, 10)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(20, 5)$

Din prima ecuație $x y = 100$ ; din a doua $x = y + 15$ , deci $y^{2} + 15 y - 100 = 0$ , cu $Δ = 625 = 2 5^{2}$ și $y = 5$ sau $y = - 20$ . Valoarea $y = - 20$ se respinge ( $y > 0$ ). Rămâne $y = 5$ , $x = 20$ : $20 \cdot 5 = 100$ ✓, $20 - 5 = 15$ ✓.

Întrebări conexe

Ce notații folosesc ca să transform un sistem exponențial într-unul algebric?

Notezi fiecare putere cu o literă, de pildă $u = 2^{x}$ și $v = 3^{y}$ , reținând că amândouă sunt strict pozitive. Sistemul devine unul obișnuit, cu două necunoscute. După ce îl rezolvi, te întorci la exponenți prin egalități de forma $2^{x} = u$ .

Ce soluție are sistemul 2 la x plus 3 la y egal 13 și 2 la x minus 3 la y egal minus 5?

Cu $u = 2^{x}$ și $v = 3^{y}$ obții $u + v = 13$ și $u - v = - 5$ . Adunând ecuațiile rezultă $2 u = 8$ , deci $u = 4$ și $v = 9$ . Revenind, $2^{x} = 4$ dă $x = 2$ , iar $3^{y} = 9$ dă $y = 2$ . Amândouă valorile auxiliare sunt pozitive, deci se acceptă.

Cât este x plus y dacă suma logaritmilor în baza 2 este 6, iar diferența lor este 2?

Notezi $p = lo g_{2} x$ și $q = lo g_{2} y$ , deci $p + q = 6$ și $p - q = 2$ . Rezultă $p = 4$ și $q = 2$ , adică $x = 16$ și $y = 4$ . Suma cerută este $16 + 4 = 20$ . Ambele valori sunt pozitive, deci condițiile de existență se respectă.

De ce nu apar soluții străine la substituția cu logaritmi?

Fiindcă întoarcerea se face prin $x = a^{p}$ , iar o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă. Condiția de existență a logaritmului este astfel îndeplinită din construcție. La sistemele mixte, în schimb, partea algebrică poate da numere pe care logaritmii le resping.

Ce fac dacă o ecuație este exponențială și cealaltă logaritmică?

Aduci amândouă la aceeași necunoscută auxiliară, dacă se poate, sau scoți o variabilă din ecuația mai simplă și o înlocuiești în cealaltă. Substituția de la logaritm și cea de la exponențială sunt inverse una alteia, așa că trecerea între ele se face fără pierderi.

Ce fac dacă una dintre necunoscutele auxiliare iese negativă?

O respingi, scriind motivul: nicio putere cu bază pozitivă nu poate lua o valoare negativă sau nulă. Respingerea se notează în rezolvare, fiindcă baremul o cere. Dacă amândouă valorile cad, sistemul nu are soluții în numere reale.

Oamenii mai întreabă și: sisteme cu logaritmi · sisteme de ecuații exponențiale · substituție la sisteme cu puteri · sistem cu suma și produsul logaritmilor · cum rezolv un sistem cu necunoscuta la exponent