Care e formula sumei unei progresii geometrice?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Suma primilor n termeni (geometrică)

Pentru $q \neq = 1$ se folosește $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , iar când rația este subunitară e mai comodă forma $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , care evită numerele negative. Când rația face $1$ , formula nu merge, fiindcă numitorul s-ar anula; atunci suma este pur și simplu $S_{n} = n \cdot b_{1}$ . La $3$ , $6$ , $12$ și mai departe, primii șase termeni dau $3 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 189$ .

Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice cu rația $q \neq = 1$ este $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .

Cazul $q = 1$ se tratează separat: atunci toți termenii sunt egali cu $b_{1}$ , deci $S_{n} = n \cdot b_{1}$ . Formula de mai sus nu se poate folosi, pentru că numitorul ar fi $0$ .

Un exemplu: pentru $3, 6, 12, \dots$ primii șase termeni. Avem $b_{1} = 3$ și $q = 2$ , deci $S_{6} = 3 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189$ . Verificare pe degete: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189$ .

Când $q$ este subunitar, e mai comod cu semnele întoarse: $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ . Este exact aceeași formulă, amplificată cu $- 1$ sus și jos — folosește-o ca să nu lucrezi cu numere negative degeaba.

Capcana este exponentul. La termenul general apare $q^{n - 1}$ , la sumă apare $q^{n}$ . Verificarea: pune $n = 1$ în formula sumei — trebuie să iasă chiar $b_{1}$ .

De reținut

$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , pentru $q \neq = 1$
$S_{n} = n \cdot b_{1}$ , pentru $q = 1$
la sumă apare $q^{n}$ , la termenul general $q^{n - 1}$

Greșeala tipică

Formula cu fracție este folosită și când rația face $1$ , iar numitorul se anulează. Când rația nu este dată ca număr, se discută separat situația în care ea este $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este suma primilor $5$ termeni ai progresiei geometrice $2, 6, 18, \dots$ ?
- a) $162$
- b) $242$
- c) $486$
- d) $728$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $242$

Avem $b_{1} = 2$ și $q = 3$ , deci $S_{5} = 2 \cdot \frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242$ . Verificare: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$ . Rezultatul $728$ este suma primilor șase termeni.
Cât este suma $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 512$ ?
- a) $511$
- b) $1022$
- c) $1023$
- d) $1024$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1023$

Termenii sunt $2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{9}$ , deci sunt $10$ termeni, cu $b_{1} = 1$ și $q = 2$ . Suma: $S_{10} = \frac{2 ^{10} - 1}{2 - 1} = 1024 - 1 = 1023$ . Rezultatul $511$ ar fi suma până la $256$ .
Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 5$ și $q = 1$ . Cât este suma primilor $12$ termeni?
- a) $5$
- b) $17$
- c) $60$
- d) nu se poate calcula
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $60$

Cu $q = 1$ toți termenii sunt egali cu $5$ , deci suma este $12 \cdot 5 = 60$ . Formula obișnuită nu se aplică (ar cere împărțire la $q - 1 = 0$ ), dar suma există și se calculează foarte simplu.

Întrebări conexe

Cum aflu suma dacă știu primul și ultimul termen, dar nu numărul lor?

Folosești forma care leagă suma de ultimul termen și de rație; atunci numărul termenilor nici nu mai este nevoie. Altfel îl afli întâi, din formula termenului general, și abia apoi aplici formula obișnuită a sumei.

Cum verific formula sumei pe un caz mic?

Pui numărul de termeni egal cu $1$ și vezi dacă iese chiar primul termen: fracția devine $\frac{q - 1}{q - 1}$ , adică $1$ . Apoi încearcă și cu doi termeni, comparând cu adunarea directă. Dacă cele două rezultate nu coincid, formula a fost scrisă greșit.

Ce fac dacă suma cerută nu începe de la primul termen?

Calculezi suma până la rangul mare și scazi suma până la rangul dinaintea celui de start. Pentru termenii de la al treilea la al optulea, scazi din $S_{8}$ valoarea lui $S_{2}$ . Aceeași idee merge și la progresiile aritmetice.

Cum calculez suma unei progresii cu rația o treime?

Folosești forma cu semnele întoarse, ca să lucrezi cu numere pozitive. Pentru $b_{1} = 9$ și $q = \frac{1}{3}$ , primii trei termeni dau $9 \cdot \frac{1 - \frac{1}{27}}{1 - \frac{1}{3}} = 13$ . Verificarea directă confirmă: $9 + 3 + 1 = 13$ . Fracțiile se simplifică mai ușor decât diferențele negative.

Unde apare suma unei progresii geometrice în probleme cu bani?

La depuneri repetate, unde fiecare sumă pusă în cont crește apoi cu propriul ei factor, și la rate care se calculează cu dobândă. Totalul strâns este atunci o sumă de termeni cu raport constant, nu una cu diferență constantă.

Cum aflu primul termen dacă știu suma, rația și numărul lor?

Izolezi $b_{1}$ din formulă: împarți suma la fracția care conține rația. Pentru $S_{5} = 242$ și $q = 3$ , fracția este $\frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = 121$ , deci $b_{1} = 2$ . Verificarea se face adunând direct termenii obținuți.

Oamenii mai întreabă și: formula sumei progresiei geometrice · suma geometrică · suma primilor n termeni geometrici · cum adun o progresie geometrică · de ce cazul rației egale cu 1 este separat