Formula pentru aflarea unghiului $$A$$ dintr-un triunghi cu laturile $$a,b,c$$ cunoscute este:

$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$\cos A=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$

$$\cos A=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2+a^2}{2bc}$$

Cum calculez cosinusul unui unghi din laturi?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor (LLL)

Scrii teorema cosinusului cu cosinusul singur într-un membru: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , unde $a$ este latura din fața unghiului căutat. La numărător se scade pătratul acelei laturi, la numitor apare dublul produsului celorlalte două. De exemplu, într-un triunghi cu laturile $13$ , $14$ și $15$ , cosinusul unghiului din fața laturii $13$ este $\frac{196 + 225 - 169}{420} = 0, 6$ . Numitorul fiind pozitiv, semnul rezultatului arată direct dacă unghiul este ascuțit sau obtuz.

Teorema cosinusului funcționează și invers: din cele trei laturi ale unui triunghi poți afla toate cele trei unghiuri, fără raportor. Situația se numește cazul LLL și este exact ce cere programa clasei a X-a.

Forma de lucru, cu cosinusul izolat: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , unde $a$ este latura opusă unghiului căutat; analog pentru $cos B$ și $cos C$ . Cum numitorul $2 b c$ este mereu pozitiv, semnul rezultatului este dat de numărător și spune imediat tipul unghiului: pozitiv — ascuțit, zero — drept, negativ — obtuz.

De la valoarea cosinusului la măsura unghiului se ajunge cu tasta $cos^{- 1}$ a unui instrument digital (pe modul DEG) sau cu tabelul trigonometric; la valori negative se lucrează cu suplementul. Verificarea gratuită: suma celor trei unghiuri trebuie să dea $18 0^{\circ}$ , cu o mică abatere admisă din rotunjiri.

La LLL se folosește cosinusul, nu sinusul, pentru că un cosinus determină un singur unghi din $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , în timp ce un sinus lasă două posibilități. Greșelile tipice: latura greșită scăzută la numărător, numitorul greșit (trebuie dublul produsului celorlalte două laturi) și ignorarea semnului la citirea unghiului din cosinus negativ.

De reținut

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
numărător pozitiv $\Rightarrow$ unghi ascuțit
suma celor trei unghiuri: $18 0^{\circ}$

Greșeala tipică

Se acceptă o valoare a cosinusului în afara intervalului $[- 1, 1]$ și se caută mai departe unghiul. O astfel de valoare arată o eroare de calcul sau laturi care nu formează niciun triunghi.

Exerciții din această mini-lecție

Formula pentru aflarea unghiului $A$ dintr-un triunghi cu laturile $a, b, c$ cunoscute este:
- a) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
- b) $cos A = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$
- c) $cos A = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
- d) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} + a ^{2}}{2 b c}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

Formula corectă pentru $cos A$ are la numărător suma pătratelor celorlalte două laturi minus pătratul laturii opuse ( $a$ ), iar la numitor dublul produsului lor.
Dacă într-un triunghi $cos A = - 0, 25$ , ce natură are unghiul $A$ ?
- a) drept
- b) obtuz
- c) nu se poate determina
- d) ascuțit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) obtuz

Cosinus negativ înseamnă întotdeauna unghi obtuz, indiferent de valoarea exactă.
La calculul lui $cos B$ într-un triunghi cu laturile $a, b, c$ , la numărător se scade pătratul laturii:
- a) oricare dintre ele
- b) $a$
- c) $b$
- d) $c$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $b$

La numărător se scade întotdeauna pătratul laturii opuse unghiului căutat — pentru $cos B$ , aceasta este chiar $b$ .

Întrebări conexe

Ce formulă dă cosinusul unui unghi când cunosc toate laturile?

Formula este $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , scrisă pentru unghiul $A$ ; pentru celelalte două se schimbă rolurile literelor. Ea se obține din teorema cosinusului, mutând termenii astfel încât cosinusul să rămână singur, și nu cere niciun instrument de măsură.

Ce se întâmplă cu cosinusul dacă triunghiul se turtește?

Se apropie de $1$ sau de $- 1$ , după cum unghiul se face foarte mic sau foarte aproape de unghiul alungit. Când cele trei vârfuri ajung coliniare, triunghiul dispare, iar cosinusul atinge tocmai valoarea de la capăt.

De ce semnul numărătorului decide tipul unghiului?

Numitorul $2 b c$ este produsul a două lungimi, deci mereu pozitiv, și nu poate schimba semnul raportului. Rămâne numărătorul: pozitiv înseamnă cosinus pozitiv și unghi ascuțit, zero înseamnă unghi drept, negativ înseamnă unghi obtuz. Comparația se face fără să calculezi efectiv măsura.

Câte unghiuri calculez cu teorema cosinusului în cazul LLL?

Sunt suficiente două. Al treilea se obține scăzând suma lor din $18 0^{\circ}$ , ceea ce e mai rapid și evită încă un calcul cu radicali. Merită să începi cu unghiul din fața celei mai lungi laturi, fiindcă doar acela poate fi obtuz.

Ce fac dacă îmi iese cosinusul o fracție urâtă?

Lași rezultatul ca fracție și îl compari cu valorile cunoscute: $\frac{1}{2}$ dă $60°$ , $\frac{2}{2}$ dă $45°$ , iar $\frac{3}{2}$ dă $30°$ . Dacă nu se potrivește niciuna, unghiul nu are măsură remarcabilă și se scrie cu arccosinus sau se aproximează cu calculatorul.

De ce teorema cosinusului cuprinde teorema lui Pitagora?

Fiindcă pentru un unghi drept cosinusul este zero, iar termenul cu produsul laturilor dispare. Rămâne exact egalitatea dintre pătratul ipotenuzei și suma pătratelor catetelor, deci Pitagora este cazul particular al unui unghi de 90 de grade.

Oamenii mai întreabă și: formula cosinusului din trei laturi · cum aflu unghiurile unui triunghi știind laturile · cazul LLL la rezolvarea triunghiului · cosinusul unghiului opus unei laturi · aflarea unghiurilor fără raportor