Când unghiul $$A=90°$$, teorema cosinusului devine:

teorema lui Pitagora, $$a^2=b^2+c^2$$

Ce înseamnă Pitagora generalizat?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema cosinusului: Pitagora generalizat

Într-un triunghi oarecare, pătratul unei laturi se obține adunând pătratele celorlalte două și scăzând un termen de corecție, $2 b c cos A$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Latura calculată și unghiul folosit sunt mereu opuse. La un unghi drept cosinusul face zero, iar formula se reduce la teorema lui Pitagora. Din aceeași egalitate se scoate și cosinusul, când se cunosc toate cele trei laturi.

Teorema cosinusului este generalizarea teoremei lui Pitagora la orice triunghi, nu doar la cele dreptunghice. Într-un triunghi $A B C$ , cu notația obișnuită a laturilor ( $a$ opusă lui $A$ etc.): $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A,$ și analoagele pentru $b$ și $c$ . Latura calculată și unghiul din formulă sunt mereu opuse. Se demonstrează ducând o înălțime și aplicând teorema lui Pitagora în cele două triunghiuri dreptunghice obținute, folosind identitatea $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ .

La $A = 90°$ , $cos A = 0$ și formula devine chiar Pitagora, $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ — de aceea teorema se numește „Pitagora generalizat”. Pentru $A$ ascuțit, $cos A > 0$ și $a^{2} < b^{2} + c^{2}$ ; pentru $A$ obtuz, $cos A < 0$ și $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ . Această observație dă un criteriu de clasificare a triunghiului, fără calcul de unghi: comparând pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două.

Teorema are două utilizări: cazul LUL (două laturi și unghiul dintre ele → a treia latură, direct din formulă) și cazul LLL (trei laturi cunoscute → orice unghi, izolând cosinusul: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ ). Semnul rezultatului arată imediat dacă unghiul e ascuțit sau obtuz.

De reținut

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
la $A = 9 0^{\circ}$ formula devine teorema lui Pitagora

Greșeala tipică

În formulă intră un unghi care nu este opus laturii căutate, de exemplu $cos B$ atunci când se calculează $a$ . Unghiul folosit este mereu cel cuprins între cele două laturi cunoscute.

Exerciții din această mini-lecție

Teorema cosinusului afirmă că, într-un triunghi $A B C$ :
- a) $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
- b) $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
- c) $a = b + c - 2 cos A$
- d) $a^{2} = b^{2} - c^{2} + 2 b c cos A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Formula corectă este $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , unde $a$ este latura opusă unghiului $A$ . Varianta a) este teorema lui Pitagora (cazul particular $A = 90°$ ), iar celelalte au structura formulei greșită.
Când unghiul $A = 90°$ , teorema cosinusului devine:
- a) teorema lui Pitagora, $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
- b) $a = b + c$
- c) $a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c$
- d) o formulă nedefinită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) teorema lui Pitagora, $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Pentru $A = 90°$ , $cos A = 0$ , deci termenul de corecție $- 2 b c cos A$ dispare, iar formula devine exact $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ — teorema lui Pitagora, ca fiind cazul particular al teoremei cosinusului pentru unghi drept.
Dacă într-un triunghi $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ , unde $a$ este cea mai mare latură, triunghiul este:
- a) ascuțitunghic
- b) dreptunghic
- c) obtuzunghic
- d) echilateral
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) obtuzunghic

Din $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , condiția $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ face numărătorul negativ (numitorul e mereu pozitiv), deci $cos A < 0$ , adică unghiul $A$ (opus celei mai mari laturi) este obtuz — triunghiul este obtuzunghic.

Întrebări conexe

Cât este latura a dacă b are 5, c are 8 și unghiul dintre ele 60 de grade?

Cosinusul lui $6 0^{\circ}$ este $\frac{1}{2}$ , deci $a^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ , de unde $a = 7$ . Rezultatul se potrivește cu inegalitatea triunghiului, fiindcă $7$ se află între $3$ și $13$ . Termenul de corecție a scăzut pătratul laturii cu exact $40$ .

Ce semn are cosinusul unui unghi obtuz?

Negativ, iar din cauza aceasta termenul scăzut devine unul adunat, deci latura opusă iese mai lungă. La $12 0^{\circ}$ , cosinusul face $- \frac{1}{2}$ , nu $\frac{1}{2}$ . Regula utilă este că un unghi și suplementul lui au cosinusuri opuse.

De ce apare factorul 2 în formulă?

Vine din demonstrație, unde se dezvoltă pătratul unei diferențe și rămâne un termen dublu. Uitarea lui este una dintre greșelile cele mai dese, mai ales sub presiunea timpului. Merită scrisă formula întreagă înainte de a înlocui numerele.

Cum verific rezultatul obținut cu teorema cosinusului?

Compari latura găsită cu celelalte două: ea trebuie să fie mai mică decât suma lor și mai mare decât diferența lor. Un al doilea control este semnul: la un unghi ascuțit latura opusă iese mai scurtă decât la unul drept, cu aceleași laturi alăturate.

Ce fac dacă unghiul dat nu se află între laturile cunoscute?

Formula nu se poate aplica direct, fiindcă ea cere unghiul cuprins între cele două laturi. În acest caz se folosește teorema sinusurilor sau se scrie teorema cosinusului pentru altă latură, obținând o ecuație în necunoscuta căutată.

Unde se folosește teorema cosinusului în afara școlii?

În topografie și în navigație, ca să se afle o distanță pe care nu o poți măsura direct: știi două distanțe de la un punct de observație și unghiul dintre direcțiile lor, iar a treia latură iese din formulă. Tot așa se calculează lungimea unei diagonale într-un teren în formă de patrulater.

Oamenii mai întreabă și: teorema cosinusului · pitagora generalizata formula · formula cu cosinus într-un triunghi · cum aflu a treia latură a unui triunghi · cum aflu un unghi din trei laturi