În teorema cosinusului $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$, unghiul $$A$$ este:

opus laturii $$a$$, cuprins între laturile $$b$$ și $$c$$

cuprins între laturile $$a$$ și $$b$$

Ce spune teorema cosinusului?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Teorema cosinusului: cazul LUL

Într-un triunghi oarecare, pătratul unei laturi se află din pătratele celorlalte două, din care scazi de două ori produsul lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Unghiul $A$ stă mereu în fața laturii căutate. Cu $b = 5$ , $c = 8$ și $A = 6 0^{\circ}$ obții $a^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ , deci $a = 7$ . La $9 0^{\circ}$ termenul cu cosinus se anulează și rămâne relația lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora funcționează doar în triunghiuri dreptunghice. Teorema cosinusului este generalizarea ei pentru orice triunghi: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , și analoagele pentru $b$ și $c$ . Latura din stânga și unghiul din formulă sunt mereu opuse; cele două laturi ridicate la pătrat sunt cele care formează unghiul respectiv.

Cazul de aplicare directă este LUL: cunoști două laturi și unghiul dintre ele, calculezi a treia latură. Programa cere teorema fără demonstrație — o folosim ca instrument gata construit.

Când $A = 9 0^{\circ}$ , $cos A = 0$ , termenul de corecție dispare, iar formula devine chiar $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ : teorema lui Pitagora este cazul particular al teoremei cosinusului. La unghiuri ascuțite, latura calculată iese mai scurtă decât ar da Pitagora; la unghiuri obtuze, cosinusul este negativ, deci $- 2 b c cos A$ devine pozitiv și latura iese mai lungă.

Greșelile tipice: perechea latură–unghi greșită (unghiul din formulă trebuie să fie exact opusul laturii calculate), uitarea factorului $2$ , pierderea semnului minus al cosinusului la unghiuri obtuze și oprirea la $a^{2}$ în loc de a extrage rădăcina. Verificarea gratuită, de făcut mereu: latura găsită trebuie să respecte inegalitatea triunghiului față de celelalte două.

De reținut

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
unghiul din formulă stă în fața laturii căutate
la $A = 9 0^{\circ}$ se obține $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Greșeala tipică

Se folosește un unghi care nu este așezat în fața laturii căutate, de pildă $cos B$ în formula pentru $a$ . Cosinusul trebuie luat pentru unghiul cuprins între cele două laturi cunoscute.

Exerciții din această mini-lecție

În teorema cosinusului $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , unghiul $A$ este:
- a) opus laturii $a$ , cuprins între laturile $b$ și $c$
- b) alăturat laturii $a$
- c) cuprins între laturile $a$ și $b$
- d) opus laturii $b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) opus laturii $a$ , cuprins între laturile $b$ și $c$

Unghiul din formulă este mereu opus laturii calculate din stânga și este cuprins exact între cele două laturi ridicate la pătrat, $b$ și $c$ .
Pentru ce valoare a unghiului $A$ teorema cosinusului devine teorema lui Pitagora?
- a) $18 0^{\circ}$
- b) $9 0^{\circ}$
- c) $0^{\circ}$
- d) $6 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $9 0^{\circ}$

La $A = 9 0^{\circ}$ , $cos A = 0$ , termenul de corecție $- 2 b c cos A$ dispare și rămâne $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .
Într-un triunghi cu $b = 5$ , $c = 7$ și unghiul dintre ele $A = 12 0^{\circ}$ , termenul $- 2 b c cos A$ este:
- a) $- 35$
- b) $- 70$
- c) $+ 35$
- d) $+ 70$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $+ 35$

$- 2 b c cos A = - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (- \frac{1}{2}) = + 35$ . Cosinusul negativ la unghi obtuz transformă scăderea într-o adunare.

Întrebări conexe

Ce latură se calculează cu teorema cosinusului în cazul LUL?

Se calculează latura pe care nu o cunoști, adică cea aflată în fața unghiului dat. Datele sunt cele două lungimi care mărginesc unghiul cunoscut, iar formula le folosește exact în această poziție: ele apar la pătrat, iar unghiul lor apare la cosinus.

Cât iese latura a dacă b este 5, c este 8, iar unghiul dintre ele are 60 de grade?

Înlocuiești în formulă: $a^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ}$ . Cum $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , produsul $80$ se înjumătățește și scazi $40$ din $89$ , deci $a^{2} = 49$ și $a = 7$ . Rezultatul respectă inegalitatea triunghiului, fiindcă $7$ se află între $3$ și $13$ .

Ce se schimbă în teorema cosinusului când unghiul are 120 de grade?

Cosinusul devine $- \frac{1}{2}$ , iar scăderea din formulă se transformă în adunare: termenul $- 2 b c cos A$ ajunge la $+ b c$ . Latura din fața unghiului iese astfel mai lungă decât ar da relația lui Pitagora pentru aceleași două laturi, ceea ce se potrivește cu desenul.

De ce se pierde des factorul 2 din teorema cosinusului?

Fiindcă seamănă cu relația lui Pitagora, la care termenul respectiv lipsește cu totul. Scris ca $2 b c cos A$ , factorul provine din desfacerea pătratului unei sume și nu poate fi omis: fără el rezultatul iese cu totul alt număr, chiar dacă restul calculului este corect.

Câte date îmi trebuie ca să pot aplica teorema cosinusului?

Ai nevoie de trei elemente: fie două laturi și unghiul dintre ele, ca să afli a treia latură, fie toate cele trei laturi, ca să afli un unghi. Dacă știi o latură împreună cu unghiul din fața ei, unealta potrivită este teorema sinusurilor.

Ce obțin dacă mă opresc la a la pătrat în teorema cosinusului?

Obții pătratul laturii, nu latura. Formula dă $a^{2}$ , iar răspunsul cerut este $a$ , deci mai urmează extragerea radicalului. Un rezultat scris ca $a = 49$ în loc de $a = 7$ se recunoaște ușor, pentru că încalcă inegalitatea triunghiului față de laturile date.

Oamenii mai întreabă și: cum aflu a treia latură cu teorema cosinusului · formula teoremei cosinusului · teorema cosinusului într-un triunghi oarecare · generalizarea teoremei lui Pitagora · a la pătrat egal b la pătrat plus c la pătrat · cazul LUL la teorema cosinusului