Ce spune teorema fundamentală a algebrei?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · C ajunge pentru orice ecuație

Un polinom neconstant, cu coeficienți complecși, se anulează măcar pentru un număr complex — asta afirmă teorema. Enunțul se admite fără demonstrație la liceu. Consecința folosită la exerciții: la gradul $n$ apare scrierea $a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ , cu exact $n$ rădăcini numărate cu multiplicități. Astfel, $X^{2} + 1$ nu are rădăcini reale, dar peste numerele complexe se rupe în $(X - i) (X + i)$ , iar $X^{3} - 1$ are trei rădăcini.

Teorema fundamentală a algebrei (Gauss–d'Alembert) spune că orice polinom cu coeficienți complecși, de grad cel puțin $1$ , are cel puțin o rădăcină în $C$ — se admite fără demonstrație, fiindcă toate demonstrațiile cunoscute depășesc instrumentele liceului. Șirul de extinderi $N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$ , forțat mereu de o ecuație fără soluție, se oprește la $C$ : nicio ecuație algebrică nu mai cere un număr „nou".

Corolarul, demonstrat prin inducție cu ajutorul teoremei lui Bézout, este instrumentul de lucru: orice polinom de gradul $n$ se scrie $f = a_{n} (X - x_{1}) (X - x_{2}) \dots (X - x_{n})$ , deci are exact $n$ rădăcini, numărate cu multiplicități. Grupând rădăcinile egale în puteri obții descompunerea canonică $f = a_{n} (X - x_{1})^{m_{1}} \dots (X - x_{k})^{m_{k}}$ , cu $m_{1} + \dots + m_{k} = n$ — cel mai bun control al oricărei descompuneri. Această descompunere este unică, deci rădăcinile și gradul determină polinomul, până la coeficientul dominant.

Peste $C$ , orice polinom neconstant se „sparge" complet în factori de gradul întâi, chiar și cei care rămân „indivizibili" peste $R$ , precum $X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$ . Pentru un polinom cu coeficienți reali, rădăcinile complexe nereale apar întotdeauna în perechi conjugate, astfel încât, înmulțind fiecare pereche, produsul lor redă un factor de gradul al doilea cu coeficienți reali — de aceea o descompunere pornită din rădăcini complexe poate ajunge, la final, la un polinom cu toți coeficienții reali.

De reținut

orice polinom neconstant are rădăcină în $C$
$f = a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$
suma ordinelor de multiplicitate $= n$

Greșeala tipică

Se spune despre un polinom că nu are rădăcini, când de fapt nu are rădăcini reale. Peste numerele complexe orice polinom neconstant are rădăcini, iar formularea trebuie să spună în ce mulțime se caută.

Exerciții din această mini-lecție

Descompuneți peste $C$ polinomul $f = X^{2} - 4 X + 13$ .
- a) $(X - 2 - 3 i) (X - 2 + 3 i)$
- b) $(X - 2 - 3 i) (X + 2 + 3 i)$
- c) $(X + 2 - 3 i) (X + 2 + 3 i)$
- d) $(X - 3 - 2 i) (X - 3 + 2 i)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(X - 2 - 3 i) (X - 2 + 3 i)$

$Δ = 16 - 52 = - 36$ , deci $X_{1, 2} = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i$ . Descompunerea este $(X - 2 - 3 i) (X - 2 + 3 i)$ . Verificare: $(2 + 3 i)^{2} - 4 (2 + 3 i) + 13 = (- 5 + 12 i) - (8 + 12 i) + 13 = 0$ ✓.
Descompuneți peste $C$ polinomul $f = X^{4} - 81$ .
- a) $(X - 3) (X + 3) (X - 9 i) (X + 9 i)$
- b) $(X - 3) (X + 3) (X - 3 i) (X + 3 i)$
- c) $(X - 9) (X + 9) (X - 3 i) (X + 3 i)$
- d) $(X - 3) (X - 3) (X + 3 i) (X + 3 i)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(X - 3) (X + 3) (X - 3 i) (X + 3 i)$

$X^{4} - 81 = (X^{2} - 9) (X^{2} + 9) = (X - 3) (X + 3) (X - 3 i) (X + 3 i)$ . Verificare pe fiecare rădăcină: de exemplu pentru $z = 3 i$ , $z^{4} - 81 = 81 - 81 = 0$ ✓.
Scrieți polinomul monic de gradul $3$ care are rădăcinile $- 2$ , $3 i$ și $- 3 i$ .
- a) $X^{3} + 2 X^{2} - 9 X + 18$
- b) $X^{3} - 2 X^{2} + 9 X - 18$
- c) $X^{3} + 2 X^{2} + 9 X + 18$
- d) $X^{3} + 2 X^{2} + 9 X - 18$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $X^{3} + 2 X^{2} + 9 X + 18$

$(X + 2) (X - 3 i) (X + 3 i) = (X + 2) (X^{2} + 9) = X^{3} + 2 X^{2} + 9 X + 18$ . Perechea conjugată $3 i, - 3 i$ dă factorul real $X^{2} + 9$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă rădăcini numărate cu multiplicitate?

Înseamnă că o rădăcină care apare ca factor la puterea $m$ se socotește de $m$ ori. Polinomul $(X - 1)^{2} (X + 3)$ are gradul $3$ și trei rădăcini socotite astfel, deși valorile distincte sunt doar două. Fără această convenție, egalitatea dintre grad și număr nu ar mai fi adevărată.

De ce nu se mai extind numerele dincolo de mulțimea complexă?

Fiecare extindere anterioară a fost cerută de o ecuație fără soluție: scăderea a impus întregii, împărțirea raționalele, radicalul realele, iar $x^{2} + 1 = 0$ a impus numerele complexe. Teorema arată că nicio ecuație algebrică nu mai rămâne fără soluție, deci motivul extinderilor dispare.

Unde intervine coeficientul dominant într-o descompunere?

Stă în fața produsului de factori de gradul întâi. Pentru $f = 2 X^{2} - 6 X + 4$ , descompunerea corectă este $2 (X - 1) (X - 2)$ , nu produsul singur. Verificarea rapidă se face desfăcând mental termenul de grad maxim și termenul liber.

La ce polinoame nu se aplică teorema fundamentală?

La constante, adică la polinoamele de gradul $0$ , și la polinomul nul. O constantă nenulă nu se anulează pentru niciun număr, iar polinomul nul se anulează pentru toate, deci în niciunul dintre cazuri nu are sens să vorbești despre un număr finit de rădăcini.

Ce sumă dau ordinele de multiplicitate dintr-o descompunere?

Dau exact gradul polinomului. În scrierea $f = a_{n} (X - x_{1})^{m_{1}} \dots (X - x_{k})^{m_{k}}$ exponenții se adună la $n$ , fiindcă gradul unui produs este suma gradelor factorilor. Este cea mai rapidă probă a unei descompuneri: numeri exponenții și compari cu gradul.

Cum reconstitui un polinom dacă îi cunosc rădăcinile?

Scrii produsul factorilor de gradul întâi corespunzători și înmulțești cu o constantă. Pentru rădăcinile $2$ și $- 5$ obții $c (X - 2) (X + 5)$ ; constanta se află dintr-o informație suplimentară, de pildă coeficientul dominant sau valoarea polinomului într-un punct dat.

Oamenii mai întreabă și: teorema fundamentală a algebrei · câte rădăcini are un polinom · teorema Gauss d'Alembert · descompunerea unui polinom în factori de gradul întâi