Ce spune teorema lui Bézout?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · O rădăcină găsită e un factor găsit

Binomul $X - a$ divide polinomul $f$ dacă și numai dacă $a$ este rădăcină, adică $f (a) = 0$ . Totul iese din egalitatea $f = (X - a) q + f (a)$ : când valoarea se anulează, rămâne un produs, iar când produsul există, restul este zero. Practic, ca să afli dacă $X - 3$ divide $X^{3} - 9 X$ , calculezi $27 - 27 = 0$ și răspunzi da, fără nicio împărțire. O rădăcină găsită înseamnă un factor de gradul întâi găsit.

Teorema lui Bézout leagă două lumi: rădăcinile și factorii. Ea spune că $X - a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ — adică $a$ este rădăcină. Demonstrația pornește din relația universal valabilă $f = (X - a) q + f (a)$ : dacă $f (a) = 0$ , ea devine $f = (X - a) q$ , deci $X - a$ este factor; reciproc, dacă $X - a$ divide $f$ , restul este $0$ , iar restul este chiar $f (a)$ .

Consecința practică cea mai folosită: o rădăcină găsită este un factor găsit. Cauți o rădăcină „evidentă" (de obicei printre $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ ), verifici $f (a) = 0$ , apoi cobori gradul cu schema lui Horner și repeți pe cât. Pentru rădăcini distincte $a \neq = b$ , $(X - a) (X - b)$ divide $f$ exact când $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ ; iar restul împărțirii la un astfel de produs se obține direct din valorile $f (a)$ și $f (b)$ , fără nicio împărțire efectivă.

O consecință teoretică importantă: un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte — dacă s-ar anula în mai multe puncte, ar fi divizibil cu un polinom de grad mai mare decât al lui, ceea ce este imposibil.

De reținut

$(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$
$f = (X - a) q + f (a)$ , mereu adevărat
rădăcini distincte: $(X - a) (X - b) ∣ f ⟺ f (a) = f (b) = 0$

Greșeala tipică

Se confundă semnul: pentru divizorul $X + 3$ se calculează $f (3)$ . Numărul care trebuie folosit este rădăcina divizorului, adică $- 3$ ; rescrie binomul înainte de a evalua.

Exerciții din această mini-lecție

Arătați, fără a efectua împărțirea, că $X - 1$ divide $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ și scrieți descompunerea completă a lui $f$ .
- a) $(X - 1) (X - 3) (X + 2)$
- b) $(X - 1) (X + 3) (X - 2)$
- c) $(X - 1) (X + 2) (X + 3)$
- d) $(X - 1) (X - 6) (X + 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(X - 1) (X - 3) (X + 2)$

$f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , deci $X - 1 ∣ f$ (Bézout). Schema lui Horner cu $a = 1$ pe $1, - 2, - 5, 6$ dă câtul $X^{2} - X - 6 = (X - 3) (X + 2)$ . Deci $f = (X - 1) (X - 3) (X + 2)$ . Verificare: termenul liber $(- 1) (- 3) (2) = 6$ ✓.
Determinați $m \in R$ astfel încât polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 5 X - 6$ să se dividă cu $X + 1$ .
- a) $- 2$
- b) $2$
- c) $0$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

Din Bézout, condiția este $f (- 1) = 0$ : $- 1 + m + 5 - 6 = m - 2 = 0$ , deci $m = 2$ . Verificare: pentru $m = 2$ , $f (- 1) = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0$ ✓.
Se știe că $f (2) = 7$ și $f (- 1) = 1$ . Care este restul împărțirii lui $f$ la $(X - 2) (X + 1)$ ?
- a) $2 X - 3$
- b) $3 X + 2$
- c) $2 X + 3$
- d) $- 2 X + 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 X + 3$

Restul are forma $r = α X + β$ . Din $2 α + β = 7$ și $- α + β = 1$ , scăzând obținem $3 α = 6$ , deci $α = 2$ și $β = 3$ : restul este $2 X + 3$ .

Întrebări conexe

Cum aleg rădăcina evidentă de la care pornesc descompunerea?

Încerci numere mici, de obicei $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , alese dintre divizorii termenului liber. Testele cele mai ieftine sunt $f (1)$ , suma coeficienților, și $f (- 1)$ , suma alternată; dacă vreuna se anulează, ai găsit deja un factor de gradul întâi.

Ce se întâmplă dacă cele două rădăcini folosite sunt egale?

Extinderea la produsul $(X - a) (X - b)$ cere rădăcini distincte. Din $f (1) = 0$ nu rezultă că $(X - 1)^{2}$ divide polinomul; pentru un factor la puterea a doua ai nevoie de o condiție în plus, care ține de ordinul de multiplicitate.

De ce se evaluează în $- 3$ la divizorul $X + 3$ ?

Teorema este scrisă pentru forma $X - a$ , iar $X + 3$ se rescrie ca $X - (- 3)$ , deci numărul care intră în calcul este $- 3$ . Ca să vezi dacă $X + 3$ divide $X^{2} - 9$ , calculezi $9 - 9 = 0$ și răspunzi afirmativ.

Ce înseamnă că $X - a$ este factor al unui polinom?

Înseamnă că polinomul se scrie ca produs dintre $X - a$ și câtul împărțirii, deci se descompune. Din această scriere se citește imediat că $a$ anulează polinomul, iar celelalte rădăcini se caută mai departe doar în cât, care are gradul cu unu mai mic.

Poate teorema lui Bézout să lucreze cu rădăcini complexe?

Da, enunțul este valabil pentru orice număr complex. De exemplu, $i$ anulează $X^{2} + 1$ , deci $X - i$ este factor, iar descompunerea completă este $(X - i) (X + i)$ . Tocmai această libertate face ca peste numerele complexe orice polinom să se rupă în factori de gradul întâi.

La ce folosește Bézout dacă am deja teorema restului?

Teorema restului spune cât este restul, iar Bézout traduce cazul particular al restului nul într-o afirmație despre factori. Diferența se vede în folosire: prima calculează, a doua descompune și dă argumentul cu care se demonstrează că gradul limitează numărul rădăcinilor.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Bezout · teorema lui Bézout la polinoame · când divide X minus a un polinom · legătura dintre rădăcini și factori