Se iau $$M \in (BC)$$, $$N \in (CA)$$, $$P \in (AB)$$ cu $$\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{NC}{NA} = \dfrac{PA}{PB} = 2$$. Sunt cevienele $$AM$$, $$BN$$, $$CP$$ concurente?

Nu: produsul este $$2^3 = 8 \ne 1$$, iar teorema directă ar impune $$1$$.

Da, pentru că toate cele trei puncte sunt pe laturi.

Da, pentru că toate rapoartele sunt egale între ele.

Numai dacă triunghiul $$ABC$$ este echilateral sau isoscel.

Într-un triunghi obtuzunghic, două picioare de înălțime cad în afara laturilor. Ce se poate spune despre cele trei înălțimi?

Sunt concurente: numărul punctelor exterioare este $$2$$ — par.

Nu mai sunt concurente, tocmai pentru că două picioare sunt exterioare.

Sunt coliniare, pentru că există puncte exterioare laturilor.

Produsul rapoartelor rămâne $$1$$, dar concurența se pierde.

Cum arăt că trei ceviene sunt concurente?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema lui Ceva și concurența cevienelor

Scrii produsul celor trei rapoarte în care fiecare ceviană taie latura opusă, în ordine ciclică. Dacă produsul iese unu și numărul punctelor aflate în afara laturilor este par, atunci cele trei drepte trec prin același punct. Așa se demonstrează repede că medianele, bisectoarele și înălțimile unui triunghi sunt concurente.

Teorema lui Ceva. Fie $M \in (B C)$ , $N \in (C A)$ , $P \in (A B)$ . Dacă cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ sunt concurente, atunci

$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1.$

Formula este identică, literă cu literă, cu cea a lui Menelaus, inclusiv regula ordinii ciclice $B C$ , $C A$ , $A B$ . Ceea ce diferă este configurația, iar criteriul care le separă este paritatea numărului de puncte situate în afara laturilor: impar $\Rightarrow$ puncte coliniare (Menelaus), par $\Rightarrow$ ceviene concurente (Ceva).

Demonstrația prin arii: dacă $O$ este punctul comun, atunci $\frac{M B}{M C} = \frac{A _{A O B}}{A _{A O C}}$ și analoagele; fiecare arie apare o dată sus și o dată jos, deci produsul este $1$ .

Reciproca este testul de concurență: produs egal cu $1$ plus paritate pară ( $0$ sau $2$ puncte exterioare) $\Rightarrow$ cele trei ceviene trec prin același punct. Cu ea se demonstrează în câteva rânduri concurențele din gimnaziu: medianele (toate rapoartele $1$ ), bisectoarele (rapoartele $\frac{c}{b}$ , $\frac{a}{c}$ , $\frac{b}{a}$ ) și înălțimile (rapoartele cu cosinusuri).

Relația lui Van Aubel spune unde se întâlnesc: $\frac{A O}{O M} = \frac{A P}{P B} + \frac{A N}{N C}$ — ambele rapoarte din dreapta pornesc din $A$ . De aici $\frac{A G}{GM} = 2$ la mediane și $\frac{A I}{I D} = \frac{b + c}{a}$ la bisectoare. Când datele sunt unghiuri, se folosește forma trigonometrică, cu rapoarte de sinusuri.

De reținut

$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1$ la ceviene concurente
număr par de puncte exterioare: concurență; impar: coliniaritate
Van Aubel: $\frac{A O}{O M} = \frac{A P}{P B} + \frac{A N}{N C}$

Greșeala tipică

Se trage concluzia că punctele ar fi coliniare, deși produsul egal cu unu împreună cu un număr par de puncte exterioare arată concurența cevienelor, nu coliniaritatea.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ sunt concurente, cu $M \in (B C)$ , $N \in (C A)$ , $P \in (A B)$ . Dacă $\frac{B M}{M C} = \frac{1}{2}$ și $\frac{C N}{N A} = 3$ , cât este $\frac{P A}{P B}$ ?
- a) $\frac{1}{6}$
- b) $\frac{3}{2}$
- c) $6$
- d) $\frac{2}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{2}{3}$

Cele două date sunt deja în forma cerută: $\frac{M B}{M C} = \frac{1}{2}$ și $\frac{N C}{N A} = 3$ . Teorema lui Ceva dă

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{P A}{P B} = 1 ⟹ \frac{P A}{P B} = \frac{2}{3} .$

Verificare prin coordonate, cu $A (0, 0)$ , $B (12, 0)$ , $C (3, 9)$ : se obțin $M (9, 3)$ , $N (\frac{3}{4}, \frac{9}{4})$ , punctul de concurență $O (\frac{9}{2}, \frac{3}{2})$ și $P (\frac{24}{5}, 0)$ , deci $P A : P B = 2 : 3$ ✓.
Se iau $M \in (B C)$ , $N \in (C A)$ , $P \in (A B)$ cu $\frac{M B}{M C} = \frac{N C}{N A} = \frac{P A}{P B} = 2$ . Sunt cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ concurente?
- a) Da, pentru că toate cele trei puncte sunt pe laturi.
- b) Nu: produsul este $2^{3} = 8 \neq = 1$ , iar teorema directă ar impune $1$ .
- c) Da, pentru că toate rapoartele sunt egale între ele.
- d) Numai dacă triunghiul $A B C$ este echilateral sau isoscel.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu: produsul este $2^{3} = 8 \neq = 1$ , iar teorema directă ar impune $1$ .

Raționăm prin reducere la absurd: dacă cevienele ar fi concurente, teorema directă a lui Ceva ar da produsul $1$ . Dar produsul este $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \neq = 1$ — contradicție. Deci cele trei ceviene nu trec prin același punct, ci delimitează un mic triunghi interior. Faptul că punctele sunt pe laturi (varianta a) sau că rapoartele sunt egale (varianta c) nu garantează nimic: condiția care decide este valoarea produsului.
Într-un triunghi obtuzunghic, două picioare de înălțime cad în afara laturilor. Ce se poate spune despre cele trei înălțimi?
- a) Nu mai sunt concurente, tocmai pentru că două picioare sunt exterioare.
- b) Sunt coliniare, pentru că există puncte exterioare laturilor.
- c) Sunt concurente: numărul punctelor exterioare este $2$ — par.
- d) Produsul rapoartelor rămâne $1$ , dar concurența se pierde.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Sunt concurente: numărul punctelor exterioare este $2$ — par.

Reciproca teoremei lui Ceva rămâne valabilă și când punctele nu sunt toate pe laturi, cu condiția ca numărul celor exterioare să fie par — adică $0$ sau $2$ . La triunghiul obtuzunghic el este exact $2$ , deci înălțimile sunt în continuare concurente, în ortocentru. Contrastul cu lecția precedentă este esențial: număr impar de puncte exterioare $\Rightarrow$ coliniaritate (Menelaus), număr par $\Rightarrow$ concurență (Ceva).

Întrebări conexe

Ce este o ceviană într-un triunghi?

Este segmentul dus dintr-un vârf până la un punct aflat pe latura din fața lui sau pe prelungirea acesteia. Medianele, bisectoarele și înălțimile sunt cazuri particulare. Numele vine de la matematicianul care a studiat concurența acestor segmente.

Ce ceviene cunoscute sunt concurente?

Medianele, bisectoarele și înălțimile, fiecare grup în punctul lui: centrul de greutate, centrul cercului înscris și ortocentrul. Toate trei se pot demonstra cu aceeași teoremă, verificând că produsul rapoartelor pe care le taie pe laturi iese unu.

Ce spune reciproca teoremei lui Ceva?

Dacă produsul celor trei rapoarte este unu și punctele aflate în afara laturilor sunt în număr par, atunci cevienele sunt concurente. Cu ea se dovedesc în câteva rânduri concurențele știute din gimnaziu, fără construcții complicate.

Cum verific concurența a trei ceviene pe un exemplu numeric?

Aduci fiecare raport la forma cerută de formulă, apoi le înmulțești. Pentru $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{3}$ și $\frac{1}{2}$ produsul iese unu, iar punctele fiind toate pe laturi, cevienele se întâlnesc într-un punct. Dacă produsul nu dă unu, ele mărginesc un triunghi mic.

De ce toate rapoartele din teorema lui Ceva sunt luate pe laturi?

Fiindcă fiecare ceviană taie latura opusă vârfului din care pleacă, iar raportul se măsoară chiar pe acea latură. Ordinea ciclică face ca fiecare vârf să apară o dată sus și o dată jos. La un triunghi obtuzunghic două picioare de înălțime ies pe prelungiri, dar regula rămâne.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Ceva · concurența cevienelor · cum demonstrez că trei drepte trec prin același punct · reciproca teoremei lui Ceva