Fie $$M$$, $$N$$, $$P$$ mijloacele laturilor $$(BC)$$, $$(CA)$$, $$(AB)$$. Produsul $$\dfrac{MB}{MC} \cdot \dfrac{NC}{NA} \cdot \dfrac{PA}{PB}$$ este $$1$$. Sunt cele trei puncte coliniare?

Nu: punctele exterioare sunt $$0$$ — par —, deci reciproca nu se aplică.

Da, reciproca teoremei lui Menelaus se aplică imediat.

Nu se poate decide fără să cunoaștem lungimile laturilor.

Da, dar numai în triunghiul echilateral sau isoscel.

Cum se aplică teorema lui Menelaus?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema lui Menelaus și coliniaritatea

Iei o dreaptă care taie dreptele celor trei laturi ale unui triunghi și înmulțești trei rapoarte, luând laturile una după alta, în ordine ciclică. În produs, litera fiecărui vârf apare exact de două ori, sus și jos, iar rezultatul final este unu. Dacă două dintre rapoarte sunt $3$ și $2$ , al treilea este $\frac{1}{6}$ . Segmentele se iau ca lungimi, fără semn.

O transversală a triunghiului $A B C$ este o dreaptă care nu trece prin niciun vârf și taie dreptele suport ale laturilor $B C$ , $C A$ , $A B$ în $M$ , $N$ , respectiv $P$ .

Regula parității. O astfel de dreaptă nu poate tăia toate cele trei laturi ca segmente: ea împarte planul în două semiplane, iar din trei vârfuri cel puțin două cad în același semiplan, deci latura dintre ele scapă. Prin urmare numărul punctelor situate în afara laturilor este întotdeauna impar — unu sau trei.

Teorema lui Menelaus. În aceste condiții

$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1,$

toate segmentele fiind neorientate (lungimi pozitive). Ordinea se ține minte parcurgând laturile ciclic — $B C$ , $C A$ , $A B$ — și scriind fiecare fracție cu literele laturii, în ordinea lor; fiecare vârf apare exact o dată la numărător și o dată la numitor.

Demonstrația cea mai scurtă folosește distanțele $x$ , $y$ , $z$ de la $A$ , $B$ , $C$ la transversală: din triunghiuri dreptunghice asemenea ies $\frac{M B}{M C} = \frac{y}{z}$ , $\frac{N C}{N A} = \frac{z}{x}$ , $\frac{P A}{P B} = \frac{x}{y}$ , iar produsul se simplifică la $1$ .

Reciproca transformă teorema într-un test de coliniaritate: produs egal cu $1$ plus număr impar de puncte exterioare $\Rightarrow$ $M$ , $N$ , $P$ sunt coliniare. Fără condiția de paritate afirmația este falsă. Strategia de lucru: alege triunghiul astfel încât trei dintre dreptele figurii să fie laturi, iar a patra transversală — adesea nu $A B C$ , ci un triunghi format cu o ceviană.

De reținut

$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = 1$
ordinea ciclică a laturilor: $B C$ , $C A$ , $A B$
număr impar de puncte exterioare: coliniaritate

Greșeala tipică

Rapoartele se scriu cu literele în ordinea din enunț, nu în cea din formulă, iar rezultatul iese inversat; adu fiecare raport la forma cerută înainte de a înmulți.

Exerciții din această mini-lecție

O transversală taie dreptele $B C$ , $C A$ , $A B$ ale triunghiului $A B C$ în $M$ , $N$ , $P$ . Dacă $\frac{M B}{M C} = 3$ și $\frac{N C}{N A} = 2$ , cât este $\frac{P A}{P B}$ ?
- a) $\frac{1}{6}$
- b) $6$
- c) $\frac{1}{5}$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{6}$

Teorema lui Menelaus dă $3 \cdot 2 \cdot \frac{P A}{P B} = 1$ , deci $\frac{P A}{P B} = \frac{1}{6}$ . Interpretare: $P A$ este de șase ori mai mic decât $P B$ , deci $P$ se află mult mai aproape de $A$ . Dacă $M$ și $N$ sunt amândouă pe laturi, regula parității cere ca $P$ să fie exterior segmentului $(A B)$ .
În triunghiul $A B C$ , $P \in (A B)$ cu $\frac{A P}{P B} = \frac{2}{3}$ și $N \in (A C)$ cu $\frac{A N}{N C} = \frac{1}{2}$ . Dreapta $P N$ taie dreapta $B C$ în $M$ . Cât este $\frac{M B}{M C}$ ?
- a) $\frac{1}{3}$
- b) $\frac{4}{3}$
- c) $\frac{3}{4}$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{4}$

Capcana este ordinea literelor. Formula cere $\frac{P A}{P B}$ (avem $\frac{2}{3}$ , deci se folosește ca atare) și $\frac{N C}{N A}$ — dar datele dau $\frac{A N}{N C} = \frac{1}{2}$ , deci trebuie inversat: $\frac{N C}{N A} = 2$ . Menelaus: $\frac{M B}{M C} \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} = 1$ , de unde $\frac{M B}{M C} = \frac{3}{4}$ . Cum $P$ și $N$ sunt pe laturi, $M$ este exterior lui $(B C)$ .
Fie $M$ , $N$ , $P$ mijloacele laturilor $(B C)$ , $(C A)$ , $(A B)$ . Produsul $\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B}$ este $1$ . Sunt cele trei puncte coliniare?
- a) Da, reciproca teoremei lui Menelaus se aplică imediat.
- b) Nu se poate decide fără să cunoaștem lungimile laturilor.
- c) Da, dar numai în triunghiul echilateral sau isoscel.
- d) Nu: punctele exterioare sunt $0$ — par —, deci reciproca nu se aplică.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Nu: punctele exterioare sunt $0$ — par —, deci reciproca nu se aplică.

Toate rapoartele sunt $1$ , deci produsul este $1$ — dar produsul egal cu $1$ este necesar, nu suficient. Reciproca cere în plus ca numărul punctelor situate în afara laturilor să fie impar. Aici el este $0$ , deci reciproca nu se aplică, iar cele trei mijloace chiar nu sunt coliniare: ele determină triunghiul median. Este exact configurația în care cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ (medianele) sunt concurente — situația din teorema lui Ceva.

Întrebări conexe

Ce este o transversală într-un triunghi?

Este o dreaptă care ocolește toate vârfurile și taie dreptele pe care se sprijină cele trei laturi. Măcar una dintre intersecții cade în afara segmentului: nicio dreaptă nu reușește să prindă câteșitrele laturile în interiorul lor.

Cât face produsul celor trei rapoarte din teorema lui Menelaus?

Face exact unu. Explicația cea mai scurtă folosește distanțele de la cele trei vârfuri până la transversală: fiecare raport se scrie ca un raport de distanțe, iar la înmulțire totul se simplifică. Rezultatul nu depinde de forma triunghiului.

De ce transversala taie o latură în prelungire?

Fiindcă dreapta rupe planul în două zone, iar dintre cele trei vârfuri măcar două ajung în aceeași zonă. Latura care le unește pe acelea nu este atinsă, deci intersecția se mută pe prelungire. Numărul punctelor din afara laturilor iese mereu impar.

Cum aflu un raport necunoscut cu teorema lui Menelaus?

Scrii relația cu toate cele trei rapoarte în ordinea cerută, înlocuiești cele două cunoscute și rezolvi o ecuație simplă. Grija cea mare este ordinea literelor: dacă enunțul dă raportul invers, îl întorci înainte de a-l pune în formulă.

Care este deosebirea dintre Menelaus și Ceva?

La Menelaus cele trei puncte stau pe o dreaptă care taie triunghiul, iar una dintre ele cade pe prelungirea unei laturi. La Ceva punctele stau toate pe laturi, iar dreptele duse din vârfuri prin ele se întâlnesc într-un punct. Produsul rapoartelor iese unu la amândouă.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Menelaus · produsul rapoartelor la Menelaus · cum aplic Menelaus într-un triunghi · transversală și teorema lui Menelaus