Teorema sinusurilor, într-un triunghi $$ABC$$ cu $$R$$ raza cercului circumscris, se scrie:

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$$

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=R$$

$$\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}=R$$

În teorema sinusurilor, valoarea comună $$2R$$ reprezintă:

diametrul cercului circumscris triunghiului

raza cercului înscris în triunghi

înălțimea corespunzătoare laturii $$a$$

Într-un triunghi $$ABC$$ se cunosc o latură și unghiurile alăturate ei (cazul ULU: de exemplu $$a$$, $$m(\angle B)$$, $$m(\angle C)$$). Care este primul pas corect pentru a aplica teorema sinusurilor?

Se calculează întâi $$m(\angle A)=180^\circ-m(\angle B)-m(\angle C)$$, apoi se aplică teorema sinusurilor

Se aplică direct $$b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}$$, fără alt calcul

Se aplică teorema cosinusului pentru a afla latura $$a$$

Se calculează aria cu formula lui Heron

Ce spune teorema sinusurilor?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema sinusurilor și cercul circumscris

Raportul dintre o latură și sinusul unghiului care stă în fața ei iese același pentru toate cele trei laturi ale unui triunghi, iar valoarea lui comună este diametrul cercului circumscris: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ . Ca să pornești, ai nevoie de o pereche completă, adică o latură împreună cu unghiul din fața ei. Dacă știi $a = 6$ și unghiurile de $3 0^{\circ}$ și $9 0^{\circ}$ opuse laturilor $a$ și $b$ , atunci $b = 12$ .

Teorema sinusurilor completează teorema cosinusului acolo unde aceasta nu are ce face: atunci când printre date apare o latură și unghiul opus ei. Într-un triunghi $A B C$ , cu notațiile obișnuite ( $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ ), teorema afirmă că $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R,$ unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Deducerea pornește de la o înălțime comună, exprimată de două ori din unghiuri diferite; demonstrația completă folosește unghiuri înscrise în cercul circumscris, cu discuția pe cazuri (unghi ascuțit, drept, obtuz), pentru că sinusul are aceeași valoare pe unghiuri suplementare: $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ .

Teorema rezolvă direct cazurile ULU (o latură și unghiurile alăturate ei — se completează întâi al treilea unghi din suma $18 0^{\circ}$ ) și LUU (perechea latură–unghi opus e deja completă). În schimb, cazul LLU (două laturi și un unghi care nu e între ele) ascunde cazul ambiguu: ecuația $sin B = k$ are, în general, două soluții pe $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , deci pot exista două triunghiuri diferite cu aceleași date — decizia se ia comparând latura cunoscută cu cealaltă latură.

Din formă rezultă imediat $a = 2 R sin A \leq 2 R$ și, pentru triunghiul dreptunghic, $R = \frac{ipotenuza}{2}$ . Aplicația clasică este triangulația: măsori o bază accesibilă și două unghiuri, iar restul distanțelor se calculează.

De reținut

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
pornește doar cu o pereche latură-unghi opus
la două laturi și un unghi nealăturat pot apărea două triunghiuri

Greșeala tipică

Raportul comun este luat drept raza cercului circumscris, deși el este diametrul; împarte rezultatul la doi înainte de a scrie raza.

Exerciții din această mini-lecție

Teorema sinusurilor, într-un triunghi $A B C$ cu $R$ raza cercului circumscris, se scrie:
- a) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = R$
- b) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
- c) $a sin A = b sin B = c sin C = 2 R$
- d) $\frac{sin A}{a} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c} = R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

Formula corectă este $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ : fiecare raport dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este egal cu diametrul cercului circumscris, nu cu raza. Varianta (a) confundă $R$ cu $2 R$ , iar (c) și (d) răstoarnă greșit raportul.
În teorema sinusurilor, valoarea comună $2 R$ reprezintă:
- a) perimetrul triunghiului
- b) raza cercului înscris în triunghi
- c) diametrul cercului circumscris triunghiului
- d) înălțimea corespunzătoare laturii $a$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) diametrul cercului circumscris triunghiului

Demonstrația teoremei folosește diametrul $B A^{'}$ al cercului circumscris ( $A^{'}$ diametral opus lui $B$ ); din triunghiul dreptunghic $B C A^{'}$ rezultă $sin A = \frac{a}{2 R}$ , deci raportul comun este chiar diametrul cercului circumscris, egal cu $2 R$ .
Într-un triunghi $A B C$ se cunosc o latură și unghiurile alăturate ei (cazul ULU: de exemplu $a$ , $m (∠ B)$ , $m (∠ C)$ ). Care este primul pas corect pentru a aplica teorema sinusurilor?
- a) Se aplică direct $b = \frac{a sin B}{sin A}$ , fără alt calcul
- b) Se calculează întâi $m (∠ A) = 18 0^{\circ} - m (∠ B) - m (∠ C)$ , apoi se aplică teorema sinusurilor
- c) Se aplică teorema cosinusului pentru a afla latura $a$
- d) Se calculează aria cu formula lui Heron
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Se calculează întâi $m (∠ A) = 18 0^{\circ} - m (∠ B) - m (∠ C)$ , apoi se aplică teorema sinusurilor

La ULU, latura cunoscută nu are (încă) unghiul opus determinat, deci perechea latură–unghi opus nu e completă. Se completează gratuit din suma unghiurilor, $m (∠ A) = 18 0^{\circ} - m (∠ B) - m (∠ C)$ , și abia apoi se aplică teorema sinusurilor. Elevii care sar peste acest pas rămân blocați.

Întrebări conexe

Ce laturi și ce unghiuri leagă teorema sinusurilor?

Leagă fiecare latură de unghiul aflat în fața ei, nu de unghiurile alăturate. Cele trei rapoarte formate astfel sunt egale între ele. De aceea, ca să folosești teorema, trebuie să cunoști măcar o astfel de pereche completă.

Cum aflu o latură dacă știu două unghiuri și o latură?

Completezi al treilea unghi din suma de $18 0^{\circ}$ , ca să ai perechea potrivită, apoi înmulțești latura cunoscută cu sinusul unghiului căutat și împarți la sinusul unghiului opus laturii date. Pașii se repetă și pentru a treia latură.

Cât este raportul din teorema sinusurilor într-un triunghi echilateral cu latura 6?

Fiecare unghi are $6 0^{\circ}$ , deci raportul este $6$ împărțit la $\frac{3}{2}$ , adică $43$ . Cum acest raport este diametrul cercului circumscris, raza iese $23$ . Rezultatul se potrivește cu formula obișnuită pentru triunghiul echilateral.

Cum scriu teorema sinusurilor pentru un triunghi dreptunghic?

Ipotenuza împărțită la sinusul unghiului drept dă chiar ipotenuza, fiindcă acel sinus este unu. Rezultă că diametrul cercului circumscris este ipotenuza, deci raza este jumătate din ea. Celelalte două rapoarte dau definițiile din gimnaziu ale sinusului.

De ce laturii mai mari îi corespunde unghiul mai mare?

Fiindcă fiecare latură este produsul dintre diametrul cercului circumscris și sinusul unghiului opus. Într-un triunghi, unghiul mai mare are întotdeauna sinusul mai mare decât unghiul mai mic, chiar dacă unul dintre ele este obtuz, fiindcă suma lor rămâne sub $18 0^{\circ}$ . De aceea ordinea laturilor o urmează pe cea a unghiurilor.

Oamenii mai întreabă și: teorema sinusului · cum se aplică teorema sinusurilor · cum folosesc teorema sinusurilor · a supra sin A egal 2R · raportul laturii și al sinusului unghiului opus