Teorema sinusurilor afirmă că, într-un triunghi oarecare:

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$$

$$\dfrac{a}{\cos A}=\dfrac{b}{\cos B}$$

$$a\cdot\sin A=b\cdot\sin B=c\cdot\sin C$$

Ca să pornești o rezolvare cu teorema sinusurilor ai nevoie de o pereche completă, adică:

două laturi și unghiul dintre ele

Cum aflu o latură cu teorema sinusurilor?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Teorema sinusurilor: enunț și aplicații

Cauți întâi o pereche completă, adică o latură cu unghiul care îi stă în față, fiindcă de acolo pornește tot calculul. Scrii apoi proporția $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ și scoți necunoscuta: $b = \frac{a sin B}{sin A}$ . Cu $a = 5$ , $A = 3 0^{\circ}$ și $B = 9 0^{\circ}$ iese $b = \frac{5 \cdot 1}{0 , 5} = 10$ . Dacă îți lipsește unghiul din fața laturii căutate, îl afli din suma de $18 0^{\circ}$ .

Când datele unei probleme sunt o latură și unghiul din fața ei, teorema cosinusului nu ajută — ea are nevoie de două laturi. Unealta potrivită este teorema sinusurilor: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ , valabilă în orice triunghi, cu latura și unghiul dintr-un raport mereu opuse. Programa cere teorema fără demonstrație.

Ca să pornești ai nevoie de o pereche completă: o latură plus unghiul din fața ei. Dacă știi doar două unghiuri, al treilea se află imediat din suma de $18 0^{\circ}$ . De aici rezultă cele două formule de lucru: latura necunoscută $b = \frac{a sin B}{sin A}$ , respectiv sinusul unui unghi necunoscut $sin B = \frac{b sin A}{a}$ .

O consecință utilă: laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse, deci laturii mai mari i se opune întotdeauna unghiul mai mare.

Capcana principală: când afli un unghi prin sinusul lui, există în general două soluții posibile, $B$ și $18 0^{\circ} - B$ , pentru că $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ . Dacă latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare din triunghi, varianta e unică; altfel trebuie verificat dacă suma cu celelalte unghiuri rămâne sub $18 0^{\circ}$ .

De reținut

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$
$b = \frac{a sin B}{sin A}$
pornirea cere o latură și unghiul din fața ei

Greșeala tipică

Se împarte latura la sinusul unui unghi alăturat ei, nu la cel din fața ei. Raportul are sens doar pentru perechea în care latura și unghiul stau față în față.

Exerciții din această mini-lecție

Teorema sinusurilor afirmă că, într-un triunghi oarecare:
- a) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$
- b) $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
- c) $\frac{a}{cos A} = \frac{b}{cos B}$
- d) $a \cdot sin A = b \cdot sin B = c \cdot sin C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$

Aceasta este forma teoremei sinusurilor. Formula $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , aflată printre variante, este teorema cosinusului, o teoremă diferită.
Ca să pornești o rezolvare cu teorema sinusurilor ai nevoie de o pereche completă, adică:
- a) trei unghiuri
- b) o latură și unghiul opus ei
- c) două laturi și unghiul dintre ele
- d) trei laturi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) o latură și unghiul opus ei

Teorema sinusurilor leagă o latură de sinusul unghiului din fața ei — ai nevoie de măcar o astfel de pereche completă ca să calculezi raportul comun.
Dacă $sin B = 0, 5$ și $B$ este un unghi al unui triunghi, valorile posibile pentru $B$ sunt:
- a) doar $3 0^{\circ}$
- b) $3 0^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$
- c) $3 0^{\circ}$ sau $15 0^{\circ}$
- d) doar $15 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3 0^{\circ}$ sau $15 0^{\circ}$

Ecuația $sin B = 0, 5$ are, în $(0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , exact două soluții suplementare: $3 0^{\circ}$ și $15 0^{\circ}$ . Contextul problemei decide care se păstrează.

Întrebări conexe

Ce este o pereche completă latură-unghi la teorema sinusurilor?

Este o latură cunoscută împreună cu unghiul care îi stă în față. Fără o astfel de pereche nu poți calcula raportul comun, deci teorema nu pornește. Dacă ai două unghiuri și o latură oarecare, afli întâi al treilea unghi, iar perechea apare de la sine.

Cum calculez o latură necunoscută cu teorema sinusurilor?

Scrii proporția dintre perechea completă și perechea în care apare latura căutată, apoi înmulțești în cruce: $b = \frac{a sin B}{sin A}$ . Sinusurile se citesc din tabel sau de la un instrument digital reglat pe grade, iar rezultatul se compară cu ordinea laturilor.

De ce laturii mai mari i se opune unghiul mai mare?

Din teorema sinusurilor, $a = k sin A$ , cu același $k$ pentru toate laturile. Într-un triunghi, dintre oricare două unghiuri cel mult unul este obtuz, iar în această situație sinusul unghiului mai mare rămâne întotdeauna mai mare. Prin urmare și latura din fața lui iese mai lungă.

Ce legătură are teorema sinusurilor cu cercul circumscris?

Rapoartele acelea egale au o valoare comună, iar ea este chiar dublul razei cercului circumscris triunghiului. Așa poți afla raza dintr-o singură pereche latură-unghi, fără să construiești centrul. Invers, dacă știi raza, obții imediat orice latură înmulțind sinusul unghiului opus cu dublul ei.

Ce fac dacă în problemă am două unghiuri și nicio pereche completă?

Dacă nu ai nicio latură, triunghiul nu este determinat: două unghiuri fixează doar forma, nu și mărimea. Ai nevoie de cel puțin o latură. Dacă latura există, dar unghiul din fața ei lipsește, îl afli din suma de $18 0^{\circ}$ și perechea se completează.

Cum aflu al treilea unghi înainte de a aplica teorema sinusurilor?

Aduni cele două unghiuri cunoscute și scazi rezultatul din $18 0^{\circ}$ . Pasul acesta e obligatoriu în cazul în care latura dată se sprijină pe ambele unghiuri, fiindcă abia după el capeți o pereche formată dintr-o latură și unghiul din fața ei.

Oamenii mai întreabă și: ce spune teorema sinusurilor · formula teoremei sinusurilor · teorema sinusului într-un triunghi · cum aflu o latură cu sinusuri · raportul dintre latură și sinusul unghiului opus · legea sinusurilor